codevs 3332 数列（矩阵快速幂）_a[1]=a[2]=a[3]=1 a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)-优快云博客

该博客介绍了一个利用矩阵快速幂算法求解特定数列的问题。数列定义为a[x]=a[x-3]+a[x-1]，并给出样例输入输出。博主解释了如何将递推关系转化为矩阵运算，并提供了相关代码实现。

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题目描述 Description

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

输入描述 Input Description

第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

输出描述 Output Description

每行输出一个非负整数表示答案

样例输入 Sample Input

样例输出 Sample Output

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；

由于题目是用前面的项推后面的项，再加上数据范围很大，所以用矩阵快速幂做；

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求第n项。
由于 a[x]=a[x-3]+a[x-1],所以可知矩阵里有a[x-3],a[x-1].
个人喜好，把矩阵（b）定义为

a[x-2]
a[x-1]
a[x]

可知，递推用矩阵（a）为

0 1 0
0 0 1
1 0 1

目标矩阵（c） c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

int N,p=1e9+7,T;
struct maple{
  long long a[4][4];    
};

maple multiply(maple A,maple B)//快速幂
{
    maple C;
    memset(C.a,0,sizeof(C.a));
    for(int i=1;i<=3;++i)
      for(int j=1;j<=3;++j)
        for(int k=1;k<=3;++k)
           C.a[i][j]=(C.a[i][j]%p+(A.a[i][k]%p*B.a[k][j]%p)%p)%p;
    return C;    
}
maple Done(int n)
{
    maple x,Sum;
    memset(x.a,0,sizeof(x.a));
    memset(Sum.a,0,sizeof(Sum.a));
    x.a[1][2]=x.a[2][3]=x.a[3][1]=x.a[3][3]=1;// 定义转移用矩阵
    Sum.a[1][1]=Sum.a[2][1]=Sum.a[3][1]=1; // 定义初始矩阵 a[1] a[2] a[3]
    while(n){
        if(n&1) Sum=multiply(x,Sum);
        x=multiply(x,x);
        n>>=1;
    } 
    return Sum;
}
int main()
{
   scanf("%d",&T);
   while(T--)
   {
       scanf("%d",&N);
       if(N>3)
       {
          maple Ans=Done(N-3);
          cout<<Ans.a[3][1]%p<<'\n';
       }
       else cout<<1<<'\n';
   }    
   return 0;
}

PS：真好玩