代码随想录训练营第四十一天| ● 343. 整数拆分 ● 96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

代码随想录

视频讲解：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分_哔哩哔哩_bilibili

int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i-1; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i-j), j * dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }

这道题的关键就是将dp[i]转换为 max(j * (i-j), j * dp[i-j])，也就是在分成两个数还有两个以上的数中的最大值，由于遍历的时候dp[i-j]已经是最大值了，所以只需要比较这两个值即可。

可以进一步进行优化：因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

96.不同的二叉搜索树

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视屏[数学公式]讲解：动态规划找到子状态之间的关系很重要！| LeetCode：96.不同的二叉搜索树_哔哩哔哩_bilibili

int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }

这道题自己想是真想不出来，思路是n等于i时，他不同的二叉搜索树的数量等于以1为根节点的数量加以2为根节点的数量一直加到以i为根节点的数量。而以i为根节点的数量要由它不同的左右子树的数量相乘来得到。由于是二叉搜索数，所以左子树都是小于根节点的，数量为i-1，右子树都是大于根节点的，数量为n-i这样就能得到递推公式了：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }