树状数组的区间长度与lowbit函数的关系的形式化证明

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已于 2024-02-20 00:24:03 修改 · 2.1k 阅读

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于 2024-02-20 00:21:22 首次发布

一、引言

简单的说，树状数组是线段树的简化形式。

基于这种理解，在拿到一个长度为 $9$ 的数组以后，十分自然得直接采用向下取整的办法，将长度为 $9$ 的数组分割为长度分别为 $4$ 和 $5$ 的左右两个子区间。再反复进行上面的操作，直到区间长度无法再分。然后依据每层的区间关系，就可以得到一颗二叉树，而这棵二叉树正是区间树（如左图所示）。有了区间树以后，再去掉不必要的区间就获得了最后的树状数组。

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但是实际上，构建树状数组时通常不会采用这种分割方法，而用一种“补”的思想——将数组的长度补充为 $2$ 的整数次方，然后再进行划分（如右图所示，其中未画出“补”的部分）。与此同时，引入了 lowbit 函数，以求出当前节点的父、子节点的索引号。

观察整个树状数组的推理过程，这种变化是十分突然的，数组长度为什么一定要补成 $2$ 的整数次方？为什么 lowbit 函数能够建立起节点索引号与区间长度之间的关系？

为了进一步讨论这个问题，我首先做出了一个大胆的猜想，不使用 lowbit 函数能否实现树状数组？

二、一个猜想：“非常规”树状数组

当我们抛弃 lowbit 函数后，要面对的最大的问题就是，程序该如何寻找当前节点的父、子节点？一个可能的解决方案是将目标节点的父、子节点的索引号直接记录下来。于是可以设计下面这个类：

class Node{
   
   
public:
    int value;
    int parent;
    int child;
    Node(): value(-1), parent(-1), child(-1){
   
   }
};

当我们能够寻找到目标节点的父子索引号以后，求区间和、单点修改等操作就与平常的树状数组的操作基本相同了。所以，这个“非常规数组”的关键在于如何 built 操作如何进行？

这时候，我们就要用上第一小节中所说的“树状数组是线段树的简化”的结论了。我们通过仿照线段树的构建过程，我们可以用一个递归算法构建整个树状数组。

三、 $2$ 的整数次方

区间长度定理

在构建非常规树状数组的时候，存在一种十分蹩脚的情况——奇数长度的数组。因为奇数没有办法被 $2$ 整除，所以在向下二分的时候，总是要进行一定的取整操作。这就导致程序没有办法均匀地二分数组，总存在一些偏差。而当数组的长度为 $2$ 的整数次方时，就不存在这种情况。更加有趣的是，这种数组二分建树后的任意一个区间都是 $2$ 的整数次方！

我们定义第 $1$ 层只有 $1$ 个根区间，这是对原数组不进行任何二分操作的结果。第 $2$ 层是对根区间进行一次二分后的结果，从左往右依次是第 $1$ 个、第 $2$ 个区间。接下来的层次都反复进行上面的操作，直到区间不可再分。最终就能够获得一棵树状数组。