【红黑树】的详细实现(C++)附代码

红黑树的介绍

红黑树(Red-Black Tree，简称R-B Tree)，它一种特殊的二叉查找树。
红黑树是特殊的二叉查找树，意味着它满足二叉查找树的特征：任意一个节点所包含的键值，大于等于左孩子的键值，小于等于右孩子的键值。
除了具备该特性之外，红黑树还包括许多额外的信息。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，颜色是红(Red)或黑(Black)。

红黑树一棵在每个结点上增加了一个存储位来表示结点颜色（红色RED或黑色BLACK）的二叉搜索树。

二叉搜索树简单的说就是：对树中任何结点x，其左子树中的关键字最大不超过x.key，即对左子树中任一结点y，有y.key<x.key；其右子树中的关键字最小不低于x.key，即对右子树中任一结点y，有y.key>x.key。

红黑树中每个结点包含5个属性：color、key、left、right和p。如果一个结点没有子结点或父结点，则该结点相应属性值为NIL。如图1所示：

 

图1 红黑树的叶结点

这些NIL被视为指向二叉搜索树的叶结点（外部结点）的指针，而把带关键字的结点视为树的内部结点。

为了便于处理红黑树代码中的边界条件，使用一个哨兵T.nil来代表所有的NIL：所有的叶结点和根结点的父结点。如图2所示：

 

图2 红黑树的T.nil属性

红黑树的特性:
　　(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。
　　(2) 根节点是黑色。
　　(3) 每个叶子节点是黑色（为空的结点）。
　　(4) 不能出现两个连续的红色结点（如果一个节点是红色的，那么它的两个子节点都是黑色的）。
　　(5) 从一个节点开始所有路径上包含相同数目的黑节点。

关于它的特性，需要注意的是：
　　第一，特性(3)中的叶子节点，是只为空(NIL或null)的节点。
　　第二，特性(5)，确保没有一条路径会比其他路径长出两倍。因而，红黑树是相对是接近平衡的二叉树。

红黑树示意图如下：

 

　　从红黑树中任一结点x出发（不包括结点x），到达一个外部结点的任一路径上的黑结点个数叫做结点x的黑高度，亦称为结点的阶（rank），记作bh（x）。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。下图，数字表示该结点的黑高度。

 

红黑树的搜索

　　由于每一棵红黑树都是二叉搜索树，可以使用与搜索普通二又搜索树时所使用的完全相同的算法进行搜索。在搜索过程中不需使用颜色信息。

对普通二又搜索树进行搜索的时间复杂性为O（h），对于红黑树则为O（log2n）。因为在搜索普通二又搜索树、AVL树和红黑树时使用了相同的代码，并且在最差情况下AVL树的高度最小，因此，在那些以搜索操作为主的应用程序中，最差情况下AVL树能获得最优的时间复杂性。

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红黑树的插入

　　首先使用二又搜索树的插入算法将一个元素插入到红黑树中，该元素将作为新的叶结点插入到某一外部结点位置。在插入过程中需要为新元素染色。

如果插入前是空树，那么新元素将成为根结点，根结点必须染成黑色。

如果插入前树非空，若新结点被染成黑色，将违反红黑树的特性，所有从根到外部结点的路径上的黑色结点个数不等。因此，新插入的结点将染成红色，但这又可能违反红黑树的特性，出现连续两个红色结点，因此需要重新平衡。

>>设新插入的结点为u，它的父结点和祖父结点分别是pu和gu。

　　>若pu是黑色结点，再插入红色结点，则特性没有破坏，结束重新平衡的过程。

　　>若pu是红色结点，则出现连续两个红色结点的情形，这时还要考查pu的兄弟结点。

        情况1：如果pu的兄弟结点gr是红色结点，此时结点pu的父结点gu是黑色结点，它有两个红色子女结点。交换结点gu和它的子女结点的颜色。

 

        情况2：如果pu的兄弟结点gr是黑色结点，此时又有两种情况。

　　            （1）u是pu的左子女，pu是gu的左子女。在这种情况下只要对pu做一次右单旋转，交换pu和gu的颜色，就可恢复红黑树的特性，并结束重新平衡过程。

 

　　            （2）u是pu的右子女，pu是gu的左子女。在这种情况下对pu做先左后右的双旋转，再交换u与gu的颜色，就可恢复红黑树的特性，结束重新平衡过程。

 

    >当结点u是pu的右子女的情形与u是pu的左子女的情形是镜像的，只要左右指针互换即可。

红黑树的删除

　　红黑树的删除算法与二又搜索树的删除算法类似，不同之处在于，在红黑树中执行一次二叉搜索树的删除运算，可能会破坏红黑树的特性，需要重新平衡。

　　在红黑树中真正删除的结点应是叶结点或只有一个子女的结点。若设被删除为p，其唯一的子女为s。结点p被删除后，结点s取代了它的位置。

如果被删结点p是红色的，删去它不存在问题。因为树中各结点的黑高度都没有改变，也不会出现连续两个红色结点，红黑树的特性仍然保持，不需执行重新平衡过程。

如果被删结点p是黑色的，一旦删去它，红黑树将不满足特性的要求，因为在这条路径上黑色结点少了一个，从根到外部结点的黑高度将会降低。因此必须通过旋转变换和改变结点的颜色，消除双重黑色结点，恢复红黑树的特性。

>>设u是被删结点p的唯一的子女结点。

　　>如果u是红色结点，可以把结点u染成黑色，从而恢复红黑树的特性。

　　>如果被删结点p是黑色结点，它的唯一的子女结点u也是黑色结点，就必须先将结点p摘下，将结点u链到其祖父结点g的下面。假设结点u成为结点g的右子女，v是u的左兄弟。根据v的颜色，分以下两种情况讨论：

            情况1：结点v是黑色