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彭博面试题：寻找重复的数

描述
给出一个数组 nums 包含 n + 1 个整数，每个整数是从 1 到 n (包括边界)，保证至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。
1.不能修改数组(假设数组只能读)
2.只能用额外的O(1)的空间
3.时间复杂度小于O(n^2)
4.数组中只有一个重复的数，但可能重复超过一次

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样例1

输入:
[5,5,4,3,2,1]
输出:
5

样例 2:

输入:
[5,4,4,3,2,1]
输出:
4

解题思路
基于值的二分法。 这个题比较好的理解方法是画一个坐标轴：

• x轴是 0, 1, 2, … n。
• y轴是对应的 <=x 的数的个数，比如 <=0 的数的个数是0，就在（0,0）这个坐标画一个点。<=n 的数的个数是 n+1 个，就在 (n,n+1)画一个点。
  把所有的点连接起来之后，是一个类似下图的折线：

我们可以知道这个折线图的有如下的一些属性：

1. 大部分时候，我们会沿着斜率为 1 的那条虚线前进
2. 如果出现了一些空缺的数，就会有横向的折线
3. 一旦出现了重复的数，就会出现一段斜率超过 1 的折线
4. 斜率超过 1 的折线只会出现一次
   试想一下，对比 y=x 这条虚线，当折线冒过了这条虚线出现在这条虚线的上方的时候，一定是遇到了一个重复的数。 一旦越过了这条虚线以后，就再也不会掉到虚线的下方或者和虚线重叠。 因为折线最终会停在 (n,n+1) 这个位置，如果要从 y=x 这条虚线或者这条虚线的下方到达 (n,n+1) 这个位置， 一定需要一个斜率 > 1的折线段，而这个与题目所说的重复的数只有一个就是矛盾的。因此可以证明，斜率超过1 的折线只会出现1次， 且会将折线整体带上 y=x 这条虚线的上方。因此第一个在 y=x 上方的 x 点，就是我们要找的重复的数。
   时间复杂度是 O(nlogn)
   源代码

class Solution:
    """
    @param nums: an array containing n + 1 integers which is between 1 and n
    @return: the duplicate one
    """
    def findDuplicate(self, nums):
        start, end = 1, len(nums) - 1
        
        while start + 1 < end:
            mid = (start + end) // 2
            if self.smaller_than_or_equal_to(nums, mid) > mid:
                end = mid
            else:
                start = mid
                
        if self.smaller_than_or_equal_to(nums, start) > start:
            return start
            
        return end
        
    def smaller_than_or_equal_to(self, nums, val):
        count = 0
        for num in nums:
            if num <= val:
                count += 1
        return count

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