阿里2020最新动态规划题：背包问题

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]。
你不可以将物品进行切割。

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样例 1:

输入:  [3,4,8,5], backpack size=10
输出:  9

样例 2:

输入:  [2,3,5,7], backpack size=12
输出:  12

算法：DP

从已知的题目中，可以总结出以下两点：

• 每件物品只有一种
• 每件物品最多选择一次
  那么考虑对于前i件的物品在容量为w的背包下，最大的装载量是多少，由此可以总结出对应的子结构，进行动态规划。

算法思路

设计dp数组dp[n][m]，用dp[i][j]表示第i个物品在容量为j的背包下，最大的装载量。

在这个问题中，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i−1件物品的问题：

• 如果不放第i件物品，可得dp[i][j]=dp[i−1][j]
• 如果放了第i件物品，可得dp[i][j]=dp[i−1][j−A[i]]+Ai
  总结状态转义方程为：dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−A[i]]+A[i])

复杂度分析

n表示物品件数，m表示背包容量

• 时间复杂度：O(nm)