A+B（可能）最短代码原理

问题描述

POJ上的A+B题目虽简单，但被各种人玩出花来，链接：http://poj.org/problem?id=1000

输入a b，0≤a≤9, 0≤b≤9，输出a+b
输入样例：8 1
输出样例：9

可能长度最短代码

main(n){gets(&n);printf("%d",n%85-43);}

参考POJ Dicuss

证明

上述代码中n是int类型，在get(&n)中存储了3字节的字符数据。
令a的ascii码是ca，b的ascii码是cb，空格的ascii码是cs，则
在x86平台，CPU是小端模式，所以 $n=ca+(cs<<8)+(cb<<16)$

经过查表得到，$ca=a+48$, $cb=b+48$, $cs=32$，
则有 $n=a+48+(32<<8)+((b+48)<<16)$

为了实现a+b，需要在保持a的因数是1的情况下，让b的因数变为1，可以使用求模的运算法则。
求模有以下两种运算法则：
$$\begin{array}{rlr}& a+b\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)\\ & a\times b\equiv a\times (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)\equiv (a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)\times (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)\end{array}$$

令 $x=a+48+(32<<8)$，$y=(b+48)<<16$，则
$$\begin{array}{rlr}x& =8240+a\equiv 80+a& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85)\\ y& =(b+48)\times 65536& \\ & \equiv (b+48)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85\times (65536\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85)& \\ & =b+48& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85)\\ & & \\ n& =x+y& \\ & \equiv (80+a)+(b+48)& \\ & \equiv a+b+43(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85)& \end{array}$$

由于$0\le a\le 9,0\le b\le 9$，则
$$\begin{array}{rl}& a+b+43\le 18+43=61<85\\ & \Rightarrow (a+b+43)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85=a+b+43\\ & \Rightarrow n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85=(a+b+43)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85=a+b+43\end{array}$$
综上，$a+b=n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}85-43$

拓展

根据这个规律，可以构造其他magic number，如 n%51-26。
为了让b的因数变为1，找出除65536的余数是1的除数r，这样有
$$(b+48)\times 65536\equiv b+48(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$$
所以，
$$\begin{array}{rl}n& =a+48+(32\times 256)+((b+48)\times 65536)\\ & \equiv a+48+(32\times 256)+b+48\\ & \equiv a+b+8288\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)\end{array}$$
为了寻找r，对 $65536-1$ 进行质因数分解，得到 $65535=257\times 17\times 5\times 3$
容易发现，$85=17\times 5$ 是其中 65535 的一个因数。
此外，r还有一个条件：$a+b+8288\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r<r$
经过搜索，r = 51 也满足上述约束。