卡尔曼滤波器

1. 卡尔曼滤波器概述

卡尔曼滤波器解决的问题：

1. 主观认识不准确：
   人在对问题的分析和建模与现实场景总是存在差异。
2. 客观测量不准确
   这个世界上的所有测量仪器都不可能完全准确。

卡尔曼滤波适用的场景：线性高斯系统

1.1 卡尔曼滤波器结构图

1.2 名词解释

系统状态方程：

$x_k=A{x}_{k-1}+B{u}_{k-1}+w_k$
$x_k,x_{k-1}$：系统在$k$和$k-1$时刻的状态。
$A$：状态转移矩阵，系统由上一个状态转变为下一个状态的运算矩阵。
$u_{k-1}$：系统在$k-1$时刻的输入控制量。
$B$：控制矩阵，输入控制量参与下一状态的运算矩阵。
$w_k$：过程噪声。

测量方程：

$y_k=C{x}_k+v_k$
$y_k$：测量量。
$x_k$：状态量。
$v_k$：测量噪声。

1.3 参数分析

噪声参数

$w_k\in N(0,Q_k)$
过程噪声满足$\mu =0,{\sigma }^2=Q_k$的高斯分布。
$v_k\in N(0,R_k)$
测量噪声满足$\mu =0,{\sigma }^2=R_k$的高斯分布。

方差

一维标准差： $\sigma$
二维协方差：$cov(X,Y)$
$cov(X,Y)={\sigma }_X{\sigma }_Y$
多维协方差矩阵 $P=\left[\begin{array}{cccc}cov(X_1,X_1)& cov(X_1,X_2)& ...& cov(X_1,X_n)\\ cov(X_2,X_1)& cov(X_2,X_2)& ...& cov(X_2,X_n)\\ ...& ...& ...& ...\\ cov(X_n,X_1)& cov(X_n,X_2)& ...& cov(X_n,X_n)\end{array}\right]$

超参数

$Q,R\sim PID$
$Q$：过程噪声方差矩阵
$R$：测量噪声方差矩阵

2. 卡尔曼滤波核心

2.1 卡尔曼公式

预测：
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更新：
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公式说明：
符号上若带有 $\hat{}$则表示其为先验估计值，若带有$\stackrel{ˉ}{}$则表示其为预测值。
$x$：系统状态量
$K_t$：卡尔曼增益矩阵

2.2 卡尔曼公式的理解

实现过程：
使用上一时刻的最优结果预测当前时刻的值，同时使用当前时刻观测值修正当前值，得到当前时刻最优结果。
因而卡尔曼滤波分为两个部分，预测和更新。