数据结构与算法总结

数组

链表

堆

• 堆是一棵用数组表示的完全二叉树
• 性质：结点$i$的左孩子为$2i+1$, 右孩子为$2i+2$（下标从0开始）
• 最大堆和最小堆
• 向上调整（以最大堆为例）：和其父结点比较大小，若小于父结点，则不调整；若大于父结点，则交换，然后令当前结点为父结点，继续向上调整，直到当前结点<=0（说明到达根节点）
• 向下调整（以最大堆为例）：和其两个子节点比较，若大于两个子节点，则不操作；否则，和两个子节点中更大的那个交换，令当前结点为之前交换的结点下标，继续向下调整。
• 插入：每次插入到数组的最后，然后针对该结点进行一次向上调整；
• 删除：将根节点与最后一个结点交换，删除最后一个结点，然后对根结点进行一次向下调整。
• 将一个数组调整为堆：从最后一个非叶子结点$len/2-1$（下标从0开始）开始做向下调整，直到根结点做完一次向下调整。
• 应用：堆排序（O(nlogn)），最大堆用于从小到大排序，最小堆用于从大到小排序；优先级队列（每次取最大的元素）；数据流中找到最小的K个数

二叉树

基础

• 二叉树的结点总数$n=n_0+n_1+n_2$, $2n_2+n_1=n_0+n_1+n_2-1$ （二叉树中非空指针总数等于结点总数-1，因为没有指针指向根节点），因此有结论$n_0=n_2+1$
• 高度为n、结点数也为n的二叉树，共有 2^(n-1)棵。
• 一棵有$n$个结点的二叉树，共有$2n$个指针，其中有$n-1$个非空指针，则空指针有$n+1$个。
• 中序遍历一颗二叉排序树可以得到一个有序的序列。
• 在二叉链表上交换所有分支结点左右子树的位置，则利用后序遍历方法最合适。
• 树的存储结构：双亲表示法（利用数组存储结点，数组元素表示双亲所在位置）、孩子链表表示法、孩子兄弟表示法（二叉树表示）
• 从树的二叉链表表示（孩子兄弟表示法）的定义可知，任何一颗和树对应的二叉树，其右子树一定为空。因为根节点没有兄弟。
• 树的后序遍历实质上与树转换成二叉树的中序遍历相同；树的先序遍历与二叉树的先序遍历相同。
• 二叉排序树插入、删除和查找算法的时间复杂度均为$O(lgn)$。

算法

(1) 遍历

• 先序遍历：非递归借助栈
• 中序遍历：非递归借助栈
• 后序遍历：非递归借助栈
• 层次遍历：非递归借助队列

图

基础

算法

（1）遍历

• DFS ：O(n+e)
• BFS ：O(n+e)