bzoj 3329 Xorequ 题解（数位DP，矩阵快速幂）

原题链接：
bzoj：点我QωQ

题意简述

给定一个 $n$ ，请在

$[1, n]$ 中（这一问 $\color{red}不$ 取膜）
$1,2^n]$ 中（这一问的答案对 $10^9+7$ 取膜）

求有多少 $x$ 满足 $x$ ^ ${3x}=2x$ ，其中 ^表示按位异或。

数据

输入

先有一个 $T$ ，表示有 $T$ 组数据。( $T < = 1000$ )
接下来 $T$ 行，每行一个 $n(n<=10^{18})$ 。

输出

对于每个数据，输出两行答案，第一行是 $[1, n]$ 中的解数，第二行是 $1,2^n]$ 总的解数。第一个 $\color{red}不$ 取膜，第二个取膜。

样例

输入
1
1
输出
1
2

思路

看起来好像 $1$ 简单， $2$ 难。但是对于我这个数学很好但是不会数位 $D P$ 的数竟狗，我感觉 $2$ 简单， $1$ 难。无论如何，现在我是都会了。先讲第一问 $⑧$ 。

part1. 第一问

首先先化简那个式子。同时异或 $x$ ，得
$x$ ^ $2 x$ = $3 x$
$x$ ^ $2 x$ = $x + 2 x$
我们知道， $a + b = a$ ^ $b$ + $(a$ & $b) < < 1$ （在写 $a + b$ 的时候要用到这个）
继续推：
$x$ ^ $2 x$ = $x$ ^ $2 x$ + $(x$ & $2 x) < < 1$
$(x$ & $2 x) < < 1 = 0$
$x$ & $2 x = 0$
$x$ & $(x < < 1) = 0$
化简到这里，就相当于 $x$ 没有连续的 $1$ 。（想想，如果有连续的 $1$ ，那么 $x$ 和 $x < < 1$ 就会有一个公共位，那么 $x$ & $(x < < 1)$ 就不会 $= 0$ ）

已经能看出来数位 $D P$ 了。设 $d p [i] [0 / 1]$ 为长度为 $i$ ，首位是 $0 / 1$ 的方案数。
如果第 $i$ 位是 $1$ ，那么 $i - 1$ 位一定不能是 $1$ ,只能是 $0$ 。所以 $d p [i] [1] = d p [i - 1] [0]$ 。
如果第 $i$ 位是 $0$ ，那随便了， $d p [i] [0] = d p [i - 1] [0] + d p [i - 1] [1]$ 。

然后就是如何拆分的问题。由于是二进制，要稍微简单一点。我们拆分原数，设原数长度为 $c n t$ ，位数存在 $d$ 数里（我是按照网上多数人的写法反着存的，因为正着实在不方便）。考虑两种情况：

位数比原数小，显然是珂取的。此时答案 $= d p [1 . . . (c n t - 1)] [1]$
位数 $=$ 原数，而且和原数有一些相同的前缀。这个比较复杂。 $i$ 遍历前缀位置的下一个位置，从 $c n t - 1$ 到 $1$ ，就是前缀位置是从 $c n t$ 到 $2$ 。显然，第 $i$ 个位置是珂以取 $0$ 的。当然，如果 $d [i]$ 和 $d [i + 1]$ 都是 $0$ ，继续下去就会出错，及时 $b r e a k$ 掉。当然，这个是取不到原数的，我们考虑将原数加 $1$ ，计算结束再减回来。

part2. 第二问

身为一个数学竞赛狗，以前做过一些数学竞赛题。见IWYMIC2008 第五题：

一个十位数，其数码只能是2或3，且没有2个3是相邻的，这样的十位数有多少个？

简直和这个题一模一样，只是 $0, 1$ 换成了 $2, 3$ 而已。如果去看那个题的题解（上百度找），会发现：
这 $^{tm}$ 就是一斐波那契！！！
矩阵快速幂就过了！！！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    #define mod 1000000007
    int t,n;
    int dp[70][2];
    void DP()
    {
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=63;++i)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1];
            dp[i][1]=dp[i-1][0];
        }
    }

    int Case1()//第一问
    {
        ++n;//先+1
        int d[70];int cnt=0;
        while(n)
        {
            d[++cnt]=(n&1);
            n>>=1;
        }

        int ans=0;
        for(int i=1;i<cnt;++i)
        {
            ans+=dp[i][1];
        }
        for(int i=cnt-1;i>=1;--i)
        {
            if (d[i]==1)
            {
                ans+=dp[i][0];
                if (d[i+1]==1) break;
            }
        }
        --n;//再回来
        return ans;
    }

    class Matrix//square matrix
    {
        #define N 5//changeable
        public:
            int a[N][N];
            //variable list
            int n;//size
            //initialization
            Matrix()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=0;
            }
            Matrix(int _n)
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=_n;
            }
            Matrix(int _n,int _x)
            {_x%=mod;
                n=_n;
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=_x;
                    }
                }
            }

            //get value
            int* operator[](int i)
            {
                return *(a+i);
            }
            void Put()
            {
                for(int i=1;i<=n;++i)
                {
                    for(int j=1;j<=n;++j)
                    {
                        printf("%lld ",a[i][j]);
                    }putchar('\n');
                }
            }

            //set value
            void Set(int x)
            {x%=mod;
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=x;
                    }
                }
            }
            void Identity()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    a[i][i]=1;
                }
            }
            #undef N //5
    };
    Matrix operator*(Matrix x,Matrix y)
    {
        Matrix ans(x.n,0);
        int n=ans.n;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                for(int k=1;k<=n;++k)
                {
                    ans[i][j]+=x[i][k]*y[k][j];
                    ans[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    Matrix operator^(Matrix x,int p)
    {
        Matrix ans(x.n,0);
        ans.Identity();
        while(p)
        {
            if (p&1) ans=ans*x;
            x=x*x,p>>=1;
        }
        return ans;
    }//矩阵
    
    int Case2()
    {
        if (n==1) return 2;
        if (n==2) return 3;//特判边界

        Matrix Init(2,0);
        Init[1][1]=Init[1][2]=1;

        Matrix Trans(2,1);
        Trans[2][2]=0;

        Matrix Ans(2,0);
        Ans=(Trans^(n+1));
        Ans=Ans*Init;
        return Ans[1][2];//斐波那契板子
    }
    void Solve()
    {
        printf("%lld\n%lld\n",Case1(),Case2());
    }
    void Main()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        DP();
        scanf("%lld",&t);
        while(t--)
        {
            scanf("%lld",&n);
            Solve();
        }
    }
    #undef int //long long
    #undef mod //1000000007
};
main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}