【AcWing题解】AcWing 189. 导弹防御系统

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/189/
难度：中等
涉及知识点：动态规划，最长上升子序列，最长下降子序列，贪心，深度优先搜索

题意分析

给定一组导弹高度，对于一套导弹防御系统，只能遵循严格单调上升或者严格单调下降，求想要拦截所有导弹，需要多少套导弹。

分析与解决

题目已经给出了关键词：严格单调上升和严格单调递减，我们可以联想到LIS问题，但显然单凭LIS是无法解决的。 考虑贪心法。
对于第$i$个导弹，我们既可以把它放入上升序列，也可以把它放入下降序列，两种情况时可以类比的。以放入上升序列为例，我们当然是希望可以放入现有的序列中的，这样才能尽可能满足题目要求的至少，否则我们只能新开一个序列。

放入现有序列

在什么时候可以放入现有的上升序列呢？当然是在某一个序列的最后一个数值小于当前导弹高度的时候，但我们为了“节省”系统数量，应该是要选择序列末尾数值较小的里面尽可能大的，这样才不会浪费。所以我们用一个up数组记录每一个序列的末尾数值，按照这种策略，我们第一次遇到的小于当前导弹高度的序列，就是符合贪心策略的序列

新开一个序列

什么时候需要新开一个序列呢？那就是在所有序列都找完后仍然没有符合单调性的序列时。

特别注意地，对于每一组测试用例，我们初始化答案为序列总长为$n$，也就是最坏情况，每个导弹都需要一套防御系统。
具体的细节代码中已经足够详细。

AC代码

码风整洁，放心食用

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 55;

int n, ans;
int q[N], up[N], down[N];
//up和down记录某一套防御系统最后拦截的导弹高度

void dfs(int u, int su, int sv)
{
    if (su + sv >= ans) return;
    if (u == n)
    {
        ans = su + sv;
        return;
    }
    
    //第1种情况：放入最长上升子序列
    int k = 0; //统计新开的序列数
    while (k < su && up[k] > q[u]) k++; //找到一个末尾数小于当前数
    int t = up[k];
    up[k] = q[u];
    if (k < su) dfs(u + 1, su, sv); //如果在现存序列范围内找到了
    else dfs(u + 1, su + 1, sv); //超出范围，说明需要新建一个上升序列
    up[k] = t; //恢复现场
    
    //第2种情况：放入最长下降子序列
    k = 0;
    while (k < sv && down[k] < q[u]) k++; //找到一个末尾数大于当前数
    t = down[k];
    down[k] = q[u];
    if (k < sv) dfs(u + 1, su, sv); //如果现存序列范围内找到了
    else dfs(u + 1, su, sv + 1); //超出范围，说明需要新建一个下降序列
    down[k] = t; //恢复现场
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while (cin >> n, n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i];
        ans = n;
        dfs(0, 0, 0);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}