进制转换及数据的表示

前言

        笔记汇总，进制的相互转换及原码、反码、补码的数据表示

目录

0.进制的概念

1.进制计算

2.有符号数和无符号数

3. 原码、反码、补码和移码

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0.进制的概念

计算机采用二进制形式存储数据

二进制：由0和1两个符号组成，逢2进一

十进制：由0到9共10个符号组成，逢十进一

八进制：由0到7共8个符号组成，逢八进一

十六进制：十六个符号组成，分别是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，,A,B,C,D,E,F。逢十六进一

N进制的定义：由N个符号组成，逢N进一

计算机为什么采用二进制？

计算机是由许多电路组成，电路只有两种状态

1.进制计算

(1).查表法

(2).短除法

定义：当一个M进制数转N进制数时，就是用这个数除N取余，逆序排列。

具体做法：将N作为除数，用M进制整数除以N，可以得到一个商和余数；保留余数，用商继续除以N，又得到一个新的商和余数；仍然保留余数，用商继续除以N，还会得到一个新的商和余数；如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以N，直到商为0时为止

例：

十进制转二进制、八进制、十六进制
（1）1010--->x2
 

结果为1010--->10102
（2）10010--->x8
 

结果为10010--->1448 。
（3）10010--->x16
 

结果为10010--->6416

注：用短除法可以进行任意进制的相互转换

注：短除法特别适合十进制向二、八、十六进制的转换

(3).位权相加法

M进制转为N进制时要进行这样的运算：a*N(i-1)+aN（i-2)+...+a*N+a

例：

• 二进制转十进制
  转换公式：a*2(i-1)+a*2(i-2)+...+a*2+a
  例：110012=1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=(16+8+0+0+1)10=2510
• 八进制转十进制
  转换公式：a*8(i-1)+a*8(i-2)+...+a*8+a
  例：1458=1*82+4*81+5*80=(64+32+5)10=10110
• 十六进制转十进制
  转换公式：a*16(i-1)+a*16(i-2)+...+a*16+a
  例：14516=1*162+4*161+5*160=(256+64+5)10=32510
• 二进制转八进制
  3位二进制数正好是一位八进制数、

从低到高，按3位一组编组，高位不够3位补0，在编组内用二进制转十进制的公式
例：110012=(011)2( 001)2=(0*22+1*21+1*20)(0*22+0*21+1*20)=318

• 二进制转十六进制
  4位二进制数正好是一位十六进制数

从低到高，按4位一组编组，高位不够4位补0，在编组内用二进制转十进制的公式
例：110012=(0001)16( 1001)16=(0*23+0*22++0*21+1*20) (1*23+0*22++0*21+1*20)=1916

位权相加法特别适合二、八、十六进制转十进制

(4).拆位拼接法

一位八进制数等于3位二进制数，一位十六进制数等于4位二进制数

• 八进制转二进制
  一位八进制数通过查表拆成三位二进制，然后按八进制数的高低位组合起来即可。如：
  27438---->x2
  先拆成：2 7 4 3，然后分别查表对应的二进制 010 111 100 011
  然后拼接，结果为(27438---->0101111000112

  

• 十六进制转二进制
  一位十六进制数通过查表拆成四位二进制，然后按十六进制数的高低位组合起来即可。如：
  A5D616---->x2
  先拆成：A 5 D 6，然后分别查表对应的二进制 1010 0101 1101 0110
  然后拼接，结果为A5D616---->10100101110101102

  

(5).借桥法

对某些困难的情况，我们可以先转位十进制或二进制，然后在转为对应的进制，我成为借桥法，中间的进制就是桥。比如十六进制转八进制，我们可以先用位权相加法转为十进制，在用短除法转为八进制。

(6).总结

• 短除法和位权相加法都能进行这四种进制的相互转换，只是在某些情况下较困难
• 十进制转二、八、十六进制时最好用短除法
• 二、八、十六进制转十进制时最好用位权相加法
• 二进制转八、十六进制最好用合位法和位权相加法
• 八、十六进制二转进制最好用拆位拼接法
• 八进制和十六进制的互相转换最好用用借桥法

2.有符号数和无符号数

无符号数全代表正数，有符号数表示有正数和负数之分

(1).无符号数

无符号数（unsigned number） 是相对于有符号数而言的，

指的是整个机器字长的全部二进制位均表示数值位，相当于数的绝对值。

无符号数32位的取值范围是： 0~4294967295

注意：%u 无符号32位整数

(2).有符号数

有符号数（signed number） 和无符号数基本相同，不同的是：一般用最高有效位（MSB）来表示数的符号，正数用0表示，负数用1表示。

有符号数32位的取值范围是： -2147483648~2147483647

在有符号数中，最高位所代表的值是- 2^ 31 ，而不是-1

注意：%d 有符号32位整数

(3). 有符号数和无符号数的区别

有符号数和无符号数的区别：

在32位编译器中，有符号数的二进制位最高位表示-2^ 31，而无符号数的二进制位最高位表示的是2^31

无论它是有符号数还是无符号数，它的二进制表示肯定都是唯一的

（不可能在有符号形式下有一种表示，在无符号形式下也有一种表示）

3. 原码、反码、补码和移码

(1). 背景

负数表示问题:

在数学中，任意基数的负数都在最前面加上“−”符号来表示。

在计算机硬件中，数字都以无符号的二进制形式表示。

但是负数如何用二进制表示呢？

解决：

通过：原码、反码、补码，用于扩展二进制数字系统，来表示有符号数。

(2). 原码、反码、补码和移码

a.什么是机器数？

机器数就是 数在计算机中的二进制表示形式。

机器数是带符号的，在计算机中用二进制数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1。

例如：

计算机字长为8位，则：

十进制数+3 ，转换成二进制00000011，

十进制数-3 ，转换成二进制10000011。

那么，这里的00000011和10000011就是机器数。

b.什么是真值？

真值就是真正的值。

因为二进制数的最高位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

即第一位用±表示数字的正负，其余为二进制数。

例如：

0000 0001的真值= +000 0001，1000 0001的真值= –000 0001。

c.原码、反码、补码和移码

原码：就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值。

例如：

1 的源码 0000...0001 -1的原码：1,000...0001

反码：正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反

例如： 1的反码还是1 -1的补码为1,111...1110

补码：正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1

例如：1的补码还是1 -1的补码为1,111...111

（这就解释了无符号-1 = 1111…1111 = 4294967295）

因为： 在有符号数中，最高位所代表的值是 - 231 ，而不是 -1

注：补码的补码等于原码！

移码：表示浮点数的阶码

[X]移 = 2(n-1) + X,其中-2(n-1)<X<2(n-1)

0只有一个移码，符号为1，其余为0

范围：-128~+127

正数：原码符号位变反

负数：原码同符号位一起变反，再加1

补码和移码符号位相反，数值位相同

d. -1 和 0xFFFFFFFF问题

有符号 -1 的二进制表示就是以补码形式表示，即： 0xffffffff

unsigned (-1)表示无符号整数的最大值 即： 4294967295（二进制全1）

因此，unsigned(-1)=1,111…111(共32个1)。表示unsigned的最大值。也就是0xFFFFFFFF

数据的宽度为容器的大小，它的位数代表能存储多少位的二进制数

数据溢出：所有的容器都是有一定的存储范围的，一且超出存储范围，它就会从低位到高位存储，多的含弃。