本文深入介绍了AVL树的原理及实现方法，包括AVL树的结构、插入操作、旋转调整等核心内容，并提供了详细的代码实现。
为什么需要AVL树？
我们知道搜索二叉树通过对每一个结点限制规定：左子树都比比根节点小，右子树比根节点大，来达到O（logN）的搜索效率的:
但是一般的搜索二叉树还有一个很严重的问题：当左右子树高度差很大时，会导致搜索效率极度退化，甚至在顺序插入时退化至O（N）：
很明显，普通的搜索二叉树在一些情况下并不能达到预期的O（logN）搜索效率，而其原因就是高度的极度不平衡。
而AVL树就通过旋转的方式来维持搜索二叉树的平衡，AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。接下来，我们就对AVL树的插入进行详细介绍。
AVL树的结构
首先，AVL树是一棵严格平衡的搜索二叉树，也就是说，任何一个节点的左右子树高度差不超过1。这里我们在每一个节点中加入一个平衡因子来记录左右高度差，平衡因子为1代表该节点右子树比左子树高1，平衡因子0表示该节点左右子树高度相同，-1表示该节点左子树比右子树高1。
其次，由于AVL需要进行旋转调整，我们在节点中除了要保存左右孩子节点，还需要保存父亲节点，至于原因在插入时就能知道了。
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode//AVL树的节点
{
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
{
_father = nullptr;
_left = nullptr;
_right = nullptr;
_bf = 0;
_kv = kv;
}
AVLTreeNode<K, V>* _father;//父指针
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
pair<K, V> _kv;//节点保存的值为一个键值对pair
int _bf;//平衡因子
};
template<class K,class V>
class AVLTree//AVL树
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
AVLTree()//构造函数
{
_root = nullptr;
}
//...
private:
Node* _root;
};
AVL树的插入
对于一颗空的AVL树，我们直接将新节点作为根节点_root即可：
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)//如果AVL树为空
{
_root =new Node(kv);
return true;
}
//...
}
而在树不为空时，根据搜索二叉树的规则，如果待插入节点比当前节点小，那么待插入节点应该在当前节点的左子树，如果待插入节点比当前节点大，那么待插入节点应该在当前节点的右子树，如果待插入的节点与当前节点大小相同，我们不进行插入，而是直接返回false，这样的AVL树是可以起到去重的作用的。当然也可以插入相同大小的值，但是这种做法此处不进行展开。
依照上面的做法，我们可以从根节点向下比较，直到当前节点指向空，说明新插入节点应该插入到这个位置，或者值相同，返回false。
但是，新节点应该插入到哪个位置我们虽然知道了，但此时当前节点已经是空指针了，而空指针并不能给我们任何信息，所以我们加入一个指针记录当前节点的父节点，这样我们就能知道新节点的父节点应该是谁，这样就能够让父节点的子结点指针指向新节点，从而将新节点插入到AVL树中。
代码实现：
Node* father = nullptr;//father指针初始为空
Node* cur = _root;//当前节点初始为根节点
while (cur)//当当前节点不为空时进入循环进行搜索
{
if (cur->_kv.first < kv.first)//当当前节点小于新节点
{
father = cur;
cur = cur->_right;//向当前节点的右子树进行搜索
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)//当当前节点大于新节点
{
father = cur;
cur = cur->_left;//向当前节点的左子树进行搜索
}
else
return false;//相同时返回false，插入失败
}
例如对下面这样一颗二叉树插入6，那么最终father指向5，cur为空
接着我们只需要构建一个新节点，然后根据新节点与father的大小来决定新节点应该插入到father节点的左孩子上还是右孩子上。
cur = new Node(kv);//把新节点new出来
if (father->_kv.first > kv.first)//如果父节点大与新节点
{
father->_left = cur;//父亲的左孩子指向新节点
cur->_father = father;//别忘了cur的父指针也要指向father
}
else
{
father->_right = cur;
cur->_father = father;
}
这样，一次搜索树式的插入就完成了，但是AVL树相比搜索二叉树，还需要对高度进行调节，所以接下来在插入使高度不平衡时我们还需要进行旋转处理。
AVL树的平衡因子调节
很明显，插入新节点会对其祖先的平衡因子产生影响，而这样的影响我们可以分为下面几类：
1.插入使得父节点的平衡因子变为0
这种情况下，由于插入一个新节点，父节点的平衡因子只能增加1或者减少1，所以父节点原来的平衡因子必定是1或者-1。那么，这样的插入实际并没有改变以父节点为根的子树的高度。因为很明显，新插入的节点只是将这棵树矮的那一边填上了一个节点，并不会让整棵树的高度增加。就像上面的树的高度在插入3前后都是2一样。
所以，在这种情况下，这棵子树的高度没有改变，也就是说对于2的父节点来讲，这次插入并没有该变其子树的高度。
所以2的父节点4的平衡因子不会变化，那么2的祖先的平衡因子就不用改变了，也就是说无需继续调整祖先的平衡因子了，而平衡因子也并没有变成-2或2，因此也无需进行旋转调整，插入到此结束。
2.插入使得父节点的平衡因子变为1或者-1
在这种情况下，父节点的平衡因子原来一定是0，也就是说父节点的左右子树高度是平衡的，而向这样的一颗树里插入一个节点，就会导致其高度增加。例如下图中以2为根节点的子树的高度在插入前为1，而插入后为2。所以以2为根的子树的高度增加了1，这就导致5的左子树高度增加1，影响了5的平衡因子。所以这种情况下调整完2的平衡因子之后，应该继续向上调整祖父节点的平衡因子。
3.插入使得父节点平衡因子变为-2或2
当平衡因子变为-2或者2时，说明左右子树高度差相差为2，高度不平衡，这种时候，就需要进行旋转来平衡高度了。例如下图插入5后，3的平衡因子变为1，继续向上调整，7的平衡因子由-1变为-2。
AVL树的旋转
根据不同的情况，旋转可以分为四类：右单选，左单旋，左右双旋，右左双旋，下面我们先对右单旋进行介绍：
1.右单旋
当节点的平衡因子为-2时，说明是左子树过高导致的失衡，所以我们观察其左孩子的平衡因子，其左孩子的平衡因子为-1时，我们进行右单旋。
为了方便说明，我们使用下面这颗树进行后续的右单旋讲解：
9的右子树高度为h，左子树在插入之前高度为h+1，而在6的左子树上插入之后，6的平衡因子更新为-1，9的平衡因子更新为-2，此时我们进行如下处理即可。
第一步：让9的左孩子指针指向6的右孩子节点
第二步：让6（9的左孩子）的右孩子指针指向9
第三步：最后，别忘记旋转前9的父节点与9保持着连接父子关系，所以在旋转后，6应该替代9的位置与其父节点连接。
这样，6的平衡因子更新为0，9的平衡因子也为0，这棵树就满足了平衡的条件，并且由于高度与插入前没有变化，就不需要继续向上调整平衡因子了。
当然，上面的步骤对整个旋转过程进行了简化，实际上对于不同的情况，还需要更加细致的处理。这些细节在下面的代码实现中说明：
void RotateR(Node* father)//传入要进行右单旋的树的根节点，即例子中的9
{
Node* cur = father->_left;//保存9的左孩子，即例子中的6
Node* curRight = cur->_right;//保存6的右子树
Node* FatherFather = father->_father;//保存9的父节点
father->_left = curRight;//9的左指针指向6的右子树
if (curRight)
curRight->_father = father;//如果6的右子树存在的话，将其父指针指向9
cur->_right = father;//9的左孩子的右指针指向9
father->_father = cur;//9的父指针指向原来的左孩子
if (father == _root)//9是否为根节点影响了第三步的调整
{
_root = cur;//如果9原来是根节点，将旋转后的6设为新的根节点
_root->_father = nullptr;//将6的父指针置空
}
else
{
//如果9不是根节点，那么要将6与9原来的父节点进行连接
if (FatherFather->_left == father)
{
FatherFather->_left = cur;
}
else
{
FatherFather->_right = cur;
}
cur->_father = FatherFather;
}
father->_bf = 0;//将9与6的平衡因子更新
cur->_bf = 0;
}
2.左单旋
当节点的平衡因子为2，其右孩子的平衡因子为1时，进行左单旋。
实际上左单旋类似于翻转的右单旋，下面仅对一颗具体的树的左单旋进行过程说明：
对于上面的树，插入7后，9平衡因子更新为-1，继续向上更新，6平衡因子更新为1，继续向上更新，3平衡因子更新为2，所以要对3进行左单旋处理。
第一步：让3的右指针指向6的左孩子
第二步：让6的左指针指向3
第三步：更新旋转前3的父节点与这棵树的连接关系
最终，树旋转成了下面这个样子：
最后别忘了更新平衡因子！
下面是左单旋的代码实现：
void RotateL(Node* father)
{
Node* cur = father->_right;
Node* curLeft = cur->_left;
Node* FatherFather = father->_father;
cur->_left = father;
father->_father = cur;
father->_right = curLeft;
if (curLeft)
curLeft->_father = father;
if (father == _root)
{
_root = cur;
_root->_father = nullptr;
}
else
{
if (FatherFather->_left == father)
{
FatherFather->_left = cur;
}
else
{
FatherFather->_right = cur;
}
cur->_father = FatherFather;
}
father->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
3.左右双旋
当节点的平衡因子更新为-2，其左孩子平衡因子为1，我们需要进行左右双旋处理。
为什么这种情况下不可以使用右单旋呢？我们对下面这棵树进行右单旋处理试试：
很明显，原来9的平衡因子是-2，旋转后6的平衡因子变成了2，这并没有起到平衡的作用。所以这种情况下我们需要进行双旋处理。
我们使用下面这棵树进行左右双旋的说明：
第一步：先对6进行左旋处理：
第二步：再对9进行右旋处理：
这样，旋转后的树以7作为根，且整颗树的高度与插入前没有变化（都是h+2），就不需要继续向上调整了。
但是这里有个问题：平衡因子还需要继续调整吗？
在单旋过程，6，7，9的平衡因子都被置为0了，但是很明显，上面的双旋过程之后，9的平衡因子应该是-1，所以这里我们在双旋后，还要对平衡因子再进行调节。
但是无论新节点是插入到7的左子树还是7的右子树，都会导致左右双旋，而我们可以发现，实际上7的左子树最终成为了6的右子树，而7的右子树最终成为了9的左子树，而这也决定了到底是6的平衡因子需要调节，还是9的平衡因子需要调节。
例如上面的例子，我们在7的左子树进行插入，那么最终6的平衡因子是0，9的平衡因子是-1，所以我们需要调整9的平衡因子。所以在代码实现中，我们可以记录插入后7的平衡因子，这样就知道新节点到底插入在了7的左子树还是右子树上，以便决定最终我们要调节哪个节点的平衡因子。
下面就是双旋的代码实现：
int bf = cur->_right->_bf;//记录7的平衡因子
//左右双旋
RotateL(cur);
RotateR(father);
//根据记录好的bf来调节平衡因子
if (bf == 1)
cur->_bf = -1;
else if (bf == -1)
father->_bf = 1;
4.左右双旋
当节点的平衡因子更新为2，其左孩子平衡因子为-1，我们需要进行左右双旋处理。
右左双旋的调整与左右双旋呈镜像，这里不再赘述，仅给出代码参考：
int bf = cur->_left->_bf;
RotateR(cur);
RotateL(father);
if (bf == -1)
cur->_bf = 1;
else if (bf == 1)
father->_bf = -1;
3.平衡测试与代码总览
1.平衡测试
相信经过上面的学习，同学们已经掌握了AVL树的插入了，但是即使代码能够跑通，也只能说明这是一颗二叉搜索树，而树实际是否平衡我们并不知道，可以通过下面的测试函数进行测试：
void testbf()//测试平衡因子
{
_testbf(_root);
}
int _testbf(Node* cur)
{
if (cur == nullptr)
return 0;
int left = _testbf(cur->_left);//得到左子树高度
int right = _testbf(cur->_right);//得到右子树高度
if (right - left != cur->_bf)//判断左右高度差与平衡因子是否相等
cout << "truth of high sub : " << right - left;
cout << " bf : " << cur->_bf << endl;
return max(left, right) + 1;//返回自己的高度
}
其思想是通过递归计算每一个节点左右子树的高度差，再与平衡因子进行对比，以此来判断我们所写的AVL树实际上是否平衡了。
2.代码总览
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode//节点结构
{
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
{
_father = nullptr;
_left = nullptr;
_right = nullptr;
_bf = 0;
_kv = kv;
}
AVLTreeNode<K, V>* _father;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
pair<K, V> _kv;
int _bf;//右高度-左高度
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
AVLTree()
{
_root = nullptr;
}
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root =new Node(kv);
return true;
}
Node* father = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
father = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
father = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(kv);
if (father->_kv.first > kv.first)
{
father->_left = cur;
cur->_father = father;
}
else
{
father->_right = cur;
cur->_father = father;
}
while (father)
{
if (cur == father->_left)
{
father->_bf--;
}
else
{
father->_bf++;
}
if (father->_bf == 0)
{
break;
}
else if (father->_bf == -1 || father->_bf == 1)
{
cur = father;
father = father->_father;
}
else if (father->_bf == 2 || father->_bf == -2)
{
if (father->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
{
RotateL(father);
}
else if (father->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
int bf = cur->_left->_bf;
RotateR(cur);
RotateL(father);
if (bf == -1)
cur->_bf = 1;
else if (bf == 1)
father->_bf = -1;
}
else if (father->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(father);
}
else if (father->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
int bf = cur->_right->_bf;
RotateL(cur);
RotateR(father);
if (bf == 1)
cur->_bf = -1;
else if (bf == -1)
father->_bf = 1;
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
}
return true;
}
void RotateR(Node* father)
{
Node* cur = father->_left;
Node* curRight = cur->_right;
Node* FatherFather = father->_father;
father->_left = curRight;
if (curRight)
curRight->_father = father;
cur->_right = father;
father->_father = cur;
if (father == _root)
{
_root = cur;
_root->_father = nullptr;
}
else
{
if (FatherFather->_left == father)
{
FatherFather->_left = cur;
}
else
{
FatherFather->_right = cur;
}
cur->_father = FatherFather;
}
father->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
void RotateL(Node* father)
{
Node* cur = father->_right;
Node* curLeft = cur->_left;
Node* FatherFather = father->_father;
cur->_left = father;
father->_father = cur;
father->_right = curLeft;
if (curLeft)
curLeft->_father = father;
if (father == _root)
{
_root = cur;
_root->_father = nullptr;
}
else
{
if (FatherFather->_left == father)
{
FatherFather->_left = cur;
}
else
{
FatherFather->_right = cur;
}
cur->_father = FatherFather;
}
father->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}
private:
Node* _root;
};
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