不用标点符号实现加减乘除运算

最新推荐文章于 2020-12-01 21:28:37 发布

lfSeanDragon

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分类专栏：面试题 C++ 算法

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这个题是leetcode里面的一个经典面试题，整理了几种比较经典的实现方法。

１、加法

　　要实现加法操作可以分为两步：

　（１）不进位部分的加法用ａ^ b；

　（２）进位部分的加法用（ａ＆ｂ）<< 1;

递归实和非递归现方法实现如下：


//加法
//(递归方法)
int getAddNumber(int a, int b)
{
	if (b == 0) return a;
	int sum = a^b;
	//可以得到进位
	int carray = (a & b) << 1;
	return  getAddNumber(sum, carray);
}
//(非递归方法)
int getAddNumber1(int a, int b) {
	while (b) {
		// 防止 AddressSanitizer 对有符号左移的溢出保护处理
		auto c = ((unsigned int)a & b) << 1;
		a = a ^ b;
		b = c;
	}
	return a;
}
int getAddNumber2(int a, int b) {
	int sum;
	int carry;
	if (a == 0) return b;
	if (b == 0) return a;
	carry = a & b;
	sum = a ^ b;
	while (carry) {
		int temp = sum;
		//最高位为1即负数左移会报错, 使carry最高位永远为0
		carry = carry & (-1);
		sum = sum ^ (carry << 1);
		carry = temp & (carry << 1);
	}
	return sum;
}

２、减法

要实现减法首先的有补码相关的知识：补码相关知识

　　我们分以下几步来看：（以a - b为例）

　　(1) 如果b 的值为0，那么结果显而易见就是a 了。

　　(2) b 不为0 的情况下，我们仍然先不考虑借位，先将被减数和减数同为1 的位置去掉。

　　　　第一步，找出减数和被减数同为1 的位置。可使用 sameNum = a&b;

　　　　第二步，分别将被减数和减数同为1 的位置去掉1 ，这里可以用

a ^= sameNum; b ^= sameNum;

　　(3) 此时，减数和被减数相同位只存在以下三种情况：

1. 被减数：0 ；减数： 0；差：0；
2. 被减数：0 ；减数： 1；差：1；
3. 被减数：1 ；减数： 0；差：1；

　　(4) 通过对被减数、减数和差的分析，很容易就能知道差值应该是被减数和减数的按位或的结果。于是我们便有：a | b 得到临时的结果;

　　(5) 此时再考虑借位问题。很明显只有在减数为1的情况下，被减数与之对应的左一位才会出现借位，于是借位便可以用 b << 1 ; 来表示。

　　(6) 再把临时结果减去借位，直到借位为0,得到的结果便是最终的结果了。

//减法
int getSubNUm(int a, int b)
{
	while (b != 0)
	{
		// 去掉被减数和减数中同为1的位
		int sameNum = a & b;
		a ^= sameNum;
		b ^= sameNum;
		// 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位
		// 0 - 1 和 1 - 0 都为1
		a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）
		b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位
	}
	return a;
}

3、乘法

（1）先考虑正整数之间的乘法运算

　　在二进制中，每向左移动一次，都相当于原始数乘以2。而每个数据都可以写成k0×20+k1×21+...+km×2m的形式。因此我们可以得到以下式子：

　　a x b = ax20xk0 + ax21xk1 + .... + ax2mxkm 其中ki = {0, 1};

（2）其次就是要考虑正负号（溢出问题）

这里可以直接判断a、b和0 的关系来判断正负，也可以做左移操作，因为计算机中数据都是以补码的数据存储的，其中正数和负数的区别便是最高位是否为1；（负数的补码最高位为1）；


int maxNumFlag()
{
	int bitsOfByte = 8;

	int maxNum = 0x80;
	int tmp = maxNum;
	while (tmp != 0)
	{
		maxNum = tmp;
		tmp <<= bitsOfByte;
	}
	return maxNum;
}

//乘法
int getMultip(int a, int b)
{
	// 1.先只考虑正整数的相乘
	// 2.考虑正负情况和溢出问题

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int result = 0;
	for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
	{
		if ((bits & b) != 0)
		{
			result = getAddNumber(result, a);
			if ((result & maxNum) != 0
				|| (a & maxNum) != 0)
			{
				cout << "数据过大！" << endl;
			}
		}
		a <<= 1;
	}

	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : getAddNumber(~result, 1);
}

4、除法

第一种方法：除法没有溢出，但是有其他的限定条件，比如除数不能为“0”。

　　这里先说下除法和减法之间的关系。以97÷23=4（余5）为例：

　　也就是 97-23×4=5

：=》97-23-23-23-23 = 5

//除法
int getDivision(int a, int b)
{
	if (b == 0)
	{
		cout<< "除数不能为0！！"<< endl;
	}

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int index = 1;
	int tmp = getSubNUm(a, b);
	if (tmp < 0)
	{
		return 0;
	}

	while (tmp >= b)
	{
		tmp = getSubNUm(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数
		index = getAddNumber(index, 1);
	}
	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : getAddNumber(~index, 1);
}

　第二种方法：思路如下：

1. 预备工作：置商为0；
2. 判断“被除数>=除数 ”是否成立：

成立，继续步骤3；

不成立，被除数的值赋给余数，计算结束。

1. 备份除数，并设置商分子（一个临时变量，最终需加到商上面，故暂且如此命名）为1；

对商分子和除数同步向左移位，直到继续移位将大于被除数时为止；

1. 从被除数上减去除数，并将商加上商分子。
2. 通过备份的除数值还原除数，跳转到步骤2继续执行。

int getDivision1(int a, int b)
{
           
	if (b == 0)
	{
		cout<< "除数不能为0！！"<< endl;
	}

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int quotient = 0;
	int backupB = b;
	while (a >= b)
	{
		int tempB = b << 1;
		int tempQ = 1;
		while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0))
		{
			b = tempB;
			tempQ <<= 1;
			tempB <<= 1;
		}

		a = getSubNUm(a, b);
		quotient |= tempQ;
		b = backupB;
	}

	if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0))
	{
		quotient = getAddNumber(quotient, 1);
	}

	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : getAddNumber(~quotient, 1);
}

完整实现的代码：

#include <iostream>
using namespace std;

//加法
//(递归方法)
int getAddNumber(int a, int b)
{
	if (b == 0) return a;
	int sum = a^b;
	//可以得到进位
	int carray = (a & b) << 1;
	return  getAddNumber(sum, carray);
}
//(非递归方法)
int getAddNumber1(int a, int b) {
	while (b) {
		// 防止 AddressSanitizer 对有符号左移的溢出保护处理
		auto c = ((unsigned int)a & b) << 1;
		a = a ^ b;
		b = c;
	}
	return a;
}
int getAddNumber2(int a, int b) {
	int sum;
	int carry;
	if (a == 0) return b;
	if (b == 0) return a;
	carry = a & b;
	sum = a ^ b;
	while (carry) {
		int temp = sum;
		//最高位为1即负数左移会报错, 使carry最高位永远为0
		carry = carry & (-1);
		sum = sum ^ (carry << 1);
		carry = temp & (carry << 1);
	}
	return sum;
}
//减法
int getSubNUm(int a, int b)
{
	while (b != 0)
	{
		// 去掉被减数和减数中同为1的位
		int sameNum = a & b;
		a ^= sameNum;
		b ^= sameNum;
		// 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位
		// 0 - 1 和 1 - 0 都为1
		a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）
		b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位
	}
	return a;
}


int maxNumFlag()
{
	int bitsOfByte = 8;

	int maxNum = 0x80;
	int tmp = maxNum;
	while (tmp != 0)
	{
		maxNum = tmp;
		tmp <<= bitsOfByte;
	}
	return maxNum;
}

//乘法
int getMultip(int a, int b)
{
	// 1.先只考虑正整数的相乘
	// 2.考虑正负情况和溢出问题

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int result = 0;
	for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
	{
		if ((bits & b) != 0)
		{
			result = getAddNumber(result, a);
			if ((result & maxNum) != 0
				|| (a & maxNum) != 0)
			{
				cout << "数据过大！" << endl;
			}
		}
		a <<= 1;
	}

	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : getAddNumber(~result, 1);
}

//除法
int getDivision(int a, int b)
{
	if (b == 0)
	{
		cout<< "除数不能为0！！"<< endl;
	}

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int index = 1;
	int tmp = getSubNUm(a, b);
	if (tmp < 0)
	{
		return 0;
	}

	while (tmp >= b)
	{
		tmp = getSubNUm(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数
		index = getAddNumber(index, 1);
	}
	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : getAddNumber(~index, 1);
}

int getDivision1(int a, int b)
{
           
	if (b == 0)
	{
		cout<< "除数不能为0！！"<< endl;
	}

	int maxNum = maxNumFlag();
	int flag_a = 1;
	if ((maxNum & a) != 0)
	{
		flag_a = 0; // 负数
		a = getAddNumber(~a, 1);
	}

	int flag_b = 1;
	if ((maxNum & b) != 0)
	{
		flag_b = 0;
		b = getAddNumber(~b, 1);
	}

	int quotient = 0;
	int backupB = b;
	while (a >= b)
	{
		int tempB = b << 1;
		int tempQ = 1;
		while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0))
		{
			b = tempB;
			tempQ <<= 1;
			tempB <<= 1;
		}

		a = getSubNUm(a, b);
		quotient |= tempQ;
		b = backupB;
	}

	if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0))
	{
		quotient = getAddNumber(quotient, 1);
	}

	return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : getAddNumber(~quotient, 1);
}

int main()
{
	cout << getAddNumber(-2, 8) << endl;
	cout << getAddNumber1(10, 999999) << endl;
	cout << getAddNumber2(-2, -30) << endl;

	cout << getSubNUm(100, -3) << endl;

	cout << getMultip(-30, 6) << endl;

	cout << getDivision(42,3) << endl;

	cout << getDivision(9,2) << endl;


	return 0;
}