<think>我们被要求使用中文回答，并且需要按照
给定的格式要求（如行内数学公式用$...$，独立公式用$$...$$）。同时，需要生成相关问题，并在回答中引用段落末尾添加引用标识。
根据用户的问题，他想要了解C++中
数组的
最长单调
递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）的算法或实现方法。我们参考了提供的引用内容，发现引用[1][2][3][4][5]都涉及了这个问题，但实现方法有所不同。
最长单调
递增子序列问题：
给定一个序列，
找出一个子序列，使得这个
子序列的元素是严格
递增（或非严格
递增，但通常指严格
递增）的，并且这个
子序列的长度尽可能长。
常见的解法有：
1. 动态规划（O(n^2)）：这是最直接的方法，我们定义dp[i]为以第i个元素结尾的
最长递增子序列的长度。对于每个i，我们遍历j从0到i-1，如果a[j] < a[i]，则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)。最后，dp
数组中的最大值就是
最长递增子序列的长度。
2. 贪心+二分查找（O(n log n)）：这种方法效率更高。我们维护
一个数组d[]，表示长度为i的
最长递增子序列的末尾元素的最小值。然后遍历
数组，对于每个元素，如果它大于d
数组的最后
一个元素，则将它加入d
数组末尾；否则，在d
数组中
找到第
一个大于等于它的元素，用这个元素替换掉。这样，d
数组的长度就是
最长递增子序列的长度。
从引用内容看，引用[1][4]提供了动态规划的代码，引用[5]也提供了
一个动态规划（但效率可能不如前两个，因为其内层循环是向前找，但本质也是O(n^2)），而引用[2][3]则介绍了思路。
由于用户要求的是“
数组中
最长单调
递增子序列”，我们选择两种方法都介绍，但重点放在动态规划（因为引用中提供了多个动态规划的例子）和贪心+二分法（因为效率更高）。
注意：引用[1]的代码不仅计算了长度，还还原了
子序列本身。引用[5]的代码也还原了
子序列。
我们分步骤讲解：
### 1. 动态规划（O(n^2)）
步骤：
- 定义dp
数组，dp[i]表示以a[i]结尾的
最长递增子序列的长度。
- 初始化：每个dp[i]至少为1（因为至少包含自己）。
- 对于每个i（从1到n-1），遍历j（从0到i-1）：
- 如果a[j] < a[i]，则更新dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
- 遍历dp
数组，
找出最大值，即为
最长递增子序列的长度。
如果要输出这个
子序列，我们需要在动态规划的过程中记录路径。具体方法：用
一个pre
数组记录每个元素的前驱元素的下标（即dp[i]是由哪个j更新来的）。然后在dp
数组中
找到最大值的位置，然后逆序回溯即可。
但是注意引用[1]的代码中，还原
子序列的方法：它先
找到最长递增子序列的最后
一个元素的位置k，然后向前遍历，
找到满足条件（a[i] < a[k]且dp[i]==dp[k]-1）的元素，然后更新k为i，继续向前找。
### 2. 贪心+二分法（O(n log n)）
步骤：
- 定义
一个数组d，用于存储
最长递增子序列的候选
序列（注意d中存储的并不一定是真正的
子序列，但长度等于
最长递增子序列的长度）。
- 初始化：令d[0]=a[0]，然后遍历
数组a（从1到n-1）：
- 如果a[i]大于d的最后
一个元素，则d.push_back(a[i])
- 否则，在d
数组中
找到第
一个大于等于a[i]的元素，用a[i]替换它（这里使用二分查找）。
- 最终d的长度就是
最长递增子序列的长度。
注意：这种方法只能得到长度，如果要输出
子序列，我们需要额外的
数组记录每个元素在d
数组中的位置，以及每个位置的前驱（但这样比较麻烦）。不过，我们可以通过记录每个元素在d
数组中的位置（即该元素作为长度为k的
递增子序列的末尾元素），然后从后往前遍历，
找到长度为len, len-1, ...的元素，从而得到
序列。
但是，由于引用中并没有给出贪心+二分法的具体代码，我们主要参考动态规划方法，因为用户提供的引用都是动态规划。
根据引用[1]和[4]的代码，我们给出
一个动态规划的实现，并同时输出长度和
子序列。
### 代码实现（动态规划法）
参考引用[1]的代码，我们进行改写和注释：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n); // 存储输入
数组
vector<int> dp(n, 1); // dp[i]表示以a[i]结尾的
最长递增子序列的长度
vector<int> pre(n, -1); // 记录前驱节点，用于还原
子序列
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> a[i];
}
// 动态规划过程
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
pre[i] = j; // 记录前驱
}
}
}
//
找出最长递增子序列的长度和结束位置
int maxLength = 0, end = -1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (dp[i] > maxLength) {
maxLength = dp[i];
end = i;
}
}
// 从结束位置回溯前驱节点，得到逆序的
子序列
vector<int> lis;
while (end != -1) {
lis.push_back(a[end]);
end = pre[end];
}
reverse(lis.begin(), lis.end()); // 将逆序反转
// 输出结果
cout << "
最长递增子序列的长度为: " << maxLength << endl;
cout << "
序列为: ";
for (int num : lis) {
cout << num << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
```
注意：这个代码使用了`pre`
数组记录前驱，然后回溯得到
子序列。这样得到的
子序列是正序的。
引用[1]中的代码没有使用`pre`
数组，而是通过比较`b[i]`（即dp[i]）和当前长度来还原，但原理类似。
### 另一种还原方法（不使用pre
数组）
我们也可以像引用[1]那样，在得到dp
数组后，从后往前找：
1. 先
找到dp
数组中最大值的位置k。
2. 令当前值`cur = a[k]`，当前长度`len = maxLength`，然后从k开始向前遍历，
找到第
一个满足`a[i] < cur`且`dp[i] == len-1`的元素，将其加入结果，然后更新`cur = a[i]`，`len = len-1`，直到len为0。
这种方法不需要pre
数组，但需要从后往前遍历，因此得到的
序列是正序的（因为我们是逆序加入，然后反转）？实际上，我们可以直接正序输出，但需要先逆序存储。
代码示例（不使用pre
数组还原）：
```cpp
//
找出最长递增子序列的长度和结束位置
int maxLength = 0, end = -1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (dp[i] > maxLength) {
maxLength = dp[i];
end = i;
}
}
vector<int> lis;
lis.push_back(a[end]); // 先加入最后
一个元素
int curLen = maxLength - 1; // 接下来要找长度为maxLength-1的
int curEnd = end;
// 从后往前找
for (int i = end-1; i >= 0; --i) {
if (a[i] < a[curEnd] && dp[i] == curLen) {
lis.push_back(a[i]);
curEnd = i;
curLen--;
}
}
reverse(lis.begin(), lis.end()); // 因为是从后往前找，所以得到的
序列是逆序的，需要反转
```
### 效率
动态规划方法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。
### 贪心+二分法（O(n log n)）的代码（可选）
由于用户没有要求，但为了完整性，我们给出贪心+二分法的代码（只求长度）：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> a[i];
}
vector<int> d; // d用于存储
递增子序列的候选
d.push_back(a[0]);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
// 如果a[i]大于d的最后
一个元素，直接加入
if (a[i] > d.back()) {
d.push_back(a[i]);
} else {
// 二分查找第
一个大于等于a[i]的位置
auto it = lower_bound(d.begin(), d.end(), a[i]);
*it = a[i];
}
}
cout << "
最长递增子序列的长度为: " << d.size() << endl;
return 0;
}
```
注意：这个方法不能直接得到
子序列（因为d
数组中的元素并不一定构成原
序列的
一个子序列），但长度是正确的。如果要得到
子序列，需要额外的
数组记录每个位置的前驱，然后从后往前回溯，但这样实现起来相对复杂。
### 总结
我们提供了两种方法：动态规划（O(n^2)）和贪心+二分法（O(n log n)），并给出了动态规划方法中还原
子序列的两种方式。用户可以根据需要选择。
### 相关问题
根据要求，我们生成相关问题：
1. 动态规划方法的时间复杂度是$O(n^2)$，有没有更高效的方法？
2. 如何用贪心+二分法得到
最长递增子序列的具体
序列？
3.
最长递增子序列问题有哪些变种？
4. 动态规划方法中，如何优化空间复杂度？
5. 如果要求非严格
递增（即允许相等）的
最长子序列，算法应该如何修改？
注意：在回答中引用的地方要添加引用标识。我们在回答中引用了引用[1]和[4]中的动态规划方法，所以我们在相关地方添加了引用标识[^1][^4]。</think>###
最长单调
递增子序列算法详解（C++实现）
最长单调
递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）是指在
一个序列中
找到一个最长的
子序列，使得这个
子序列中的元素严格
递增。以下是两种常用的C++实现方法：
#### 方法1：动态规划（$O(n^2)$）
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> arr(n); // 存储原始
序列
vector<int> dp(n, 1); // dp[i]表示以arr[i]结尾的LIS长度
vector<int> prev(n, -1); // 记录前驱节点
// 输入
序列
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> arr[i];
}
// 动态规划计算LIS长度
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (arr[j] < arr[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
prev[i] = j; // 记录前驱
}
}
}
//
找出最长LIS的结束位置
int max_len = 0, end_pos = -1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (dp[i] > max_len) {
max_len = dp[i];
end_pos = i;
}
}
// 回溯构建LIS
序列
vector<int> lis;
while (end_pos != -1) {
lis.push_back(arr[end_pos]);
end_pos = prev[end_pos];
}
reverse(lis.begin(), lis.end());
// 输出结果
cout << "长度: " << max_len << "\n
序列: ";
for (int num : lis) {
cout << num << " ";
}
return 0;
}
```
**算法分析**：
1. **初始化**：`dp[i]`初始值为1（每个元素自身构成长度为1的
子序列）
2. **状态转移**：
$dp[i] = \max_{j<i \text{ 且 } arr[j]<arr[i]}(dp[j] + 1)$
若$arr[j] < arr[i]$，则更新$dp[i]$并记录前驱节点[^4]
3. **回溯输出**：从最大$dp[i]$位置回溯前驱节点，得到LIS
序列[^1]
#### 方法2：贪心+二分查找（$O(n \log n)$）
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> arr(n);
vector<int> tail; // 存储长度为i+1的LIS的最小末尾值
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];
for (int x : arr) {
//
找到第
一个 >=x 的位置
auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), x);
if (it == tail.end()) {
tail.push_back(x); // x比所有末尾值都大
} else {
*it = x; // 替换为更小的末尾值
}
}
cout << "长度: " << tail.size();
return 0;
}
```
**算法分析**：
1. **维护有序
数组**：`tail`
数组始终保持有序性
2. **二分查找**：使用`lower_bound`
找到第
一个$\geq x$的位置
3. **贪心策略**：
- 若$x$大于所有末尾值，则扩展LIS长度
- 否则替换第
一个$\geq x$的元素，使后续更容易扩展[^2]
4. **复杂度**：遍历$n$个元素，每次二分查找$O(\log n)$，总复杂度$O(n \log n)$
### 关键点对比
| 特性 | 动态规划 | 贪心+二分法 |
|--------------------|------------------|-------------------|
| 时间复杂度 | $O(n^2)$ | $O(n \log n)$ |
| 空间复杂度 | $O(n)$ | $O(n)$ |
| 能否输出具体
序列 | ✓ | ✗（需额外处理） |
| 适用场景 | 小规模数据 | 大规模数据 |
### 应用场景
1. 基因
序列分析（生物信息学）
2. 数据压缩与路径优化
3. 金融数据分析（股票价格趋势预测）
4. 自然
语言处理（文本相似度计算）[^2]
本文介绍了一道算法题目，涉及在乱序数组中找到最长递增子序列的问题。文中提供了两种解法，分别是平方时间复杂度和对数时间复杂度的解决方案，并附带了代码实现及简单注释。
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