2023年数维杯A题思路——复合直升机的建模与优化控制问题

A. 问题背景

直升机具备垂直起降等飞行能力，因而广泛应用于侦察和运输等领域。传统直升机的构造使得在高速飞行时旋翼叶片受到冲击波的影响，难以保持稳定飞行。为了保留直升机灵活的飞行能力的同时开发其高速飞行能力，采用固定翼与旋翼相结合的复合直升机设计，已成为必要的发展方向。

同轴直升机是复合直升机的典型类型。这种配置主要由四个动力组件组成：同轴刚性旋翼、螺旋桨推进器、水平尾翼和垂直尾翼。螺旋桨推进器和水平、垂直尾翼的中心均位于飞行器机身的对称平面上。飞行器的姿态角指的是飞行中的滚转角ϕ、俯仰角θ和偏航角ψ，相应的力矩分别称为滚转力矩、俯仰力矩和偏航力矩（如图1所示）。四个动力组件对飞行器姿态角的影响如下：

1) 由同轴刚性旋翼产生的空气动力力矩可近似为与空气密度ρ、旋翼盘面积和旋翼叶尖速度成比例的函数，正比例因子称为旋翼力矩因子。

2) 螺旋桨推进器通过旋转产生推力和旋转力矩。

3) 水平尾翼配备有升降舵控制装置，通过调整水平尾翼的相对角度来提供俯仰力矩。这个力矩与动压、水平尾翼面积以及水平尾翼与质心的横向距离成比例，比例系数称为水平尾翼力矩系数。

4) 与水平尾翼类似，垂直尾翼通过安装方向舵控制装置，调整相对角度来提供偏航/滚转力矩。这个力矩与动压、垂直尾翼面积以及垂直尾翼与质心的横向/纵向距离成比例，比例系数称为垂直尾翼力矩系数。

复合直升机的可操纵部分包括：

（1）同轴旋翼总距离，

（2）同轴旋翼差分总距离𝑑，

（3）同轴旋翼纵向循环俯仰，

（4）同轴旋翼横向循环俯仰，

（5）螺旋桨推进器操作容量，

（6）升降舵偏转值ℎ，

（7）方向舵偏转值𝑣。

根据直升机的飞行速度，在低速模式下（通常指速度低于85米/秒），姿态角控制主要通过同轴旋翼和螺旋桨推进器实现。在高速模式下（通常指速度高于100米/秒），姿态角控制主要通过螺旋桨推进器、升降舵和方向舵实现。

现有一个同轴复合直升机原型，通过风洞实验已获得了该飞行器的一些空气动力系数和机身参数，如附录I所示。

图1 同轴直升机配置和滚转、偏航、俯仰原理图

B.标题数据

参考附录一。

1. 旋翼滚转力矩系数 = 滚转偏转值 + 横向俯仰滚转系数 × 横向循环俯仰 + 差分总距离滚转系数 × 差分总距离
2. 旋翼俯仰力矩系数 = 俯仰偏转值 + 纵向可变俯仰系数 × 纵向循环俯仰 + 总俯仰系数 × 总距离 + 差分总俯仰系数 × 差分总距离
3. 旋翼偏航力矩系数 = 偏航偏差 + 差分总俯仰偏航系数 × 差分总距离

C. 待解决的问题

1. 考虑给定的参数，建立复合直升机俯仰力矩的表达式，并开发俯仰角变化模型。请提供飞行器在5秒、10秒和20旋翼滚转力矩系数 = 滚转偏转值 + 横向俯仰滚转系数 × 横向循环俯仰 + 差分总距离滚转系数 × 差分总距离
旋翼俯仰力矩系数 = 俯仰偏转值 + 纵向可变俯仰系数 × 纵向循环俯仰 + 总俯仰系数 × 总距离 + 差分总俯仰系数 × 差分总距离
旋翼偏航力矩系数 = 偏航偏差 + 差分总俯仰偏航系数 × 差分总距离秒时的姿态角（初始飞行高度3000米，向前飞行速度分量80米/秒，垂直上升分量2米/秒，ϕ= 0度、𝑑=−2.1552度、θ=−3.4817度、ψ=−2.0743度、𝜏= 0度、ℎ=−9.0772×10^−7度、𝑣=4.1869×10^−7度）。

2. 根据所给参数，建立复合直升机滚转、俯仰和偏航力矩的表达式，并开发姿态角变化模型。请提供飞行器在5秒、10秒和20秒时的姿态角（初始飞行高度3000米，向前飞行速度分量80米/秒，垂直上升分量0.2米/秒，ϕ= 0度、𝑑=−2.1552度、θ=−3.4817度、ψ=−2.0743度、𝜏= 0度、ℎ=−9.0772×10^−7度、𝑣=4.1869×10^−7度）。

3. 基于直升机在低速和高速飞行时的机动特性，设计每个组件的机动幅度，以满足飞行器的水平飞行任务（零姿态角）（初始飞行高度3000米，向前飞行速度分量80米/秒，垂直上升分量0.2米/秒；初始飞行高度3000米，向前飞行速度分量180米/秒，垂直上升分量0.2米/秒）。

4. 考虑到直升机的加速机动任务，其中向前飞行速度分量在20秒内均匀增加从80米/秒至180米/秒（假设前向加速完全由螺旋桨推进器提供），请设计每个控制输入的动态值，以实现飞行器的向前加速和水平飞行（零姿态角），同时考虑到直升机在低速和高速飞行时的机动特性（初始飞行高度3000米，飞行垂直上升分量率0.2米/秒）。