CODEVS3550 不一样的根号算法

最新推荐文章于 2025-06-18 11:00:30 发布
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博客介绍了如何在OI算法中利用O(sqrt(n))复杂度的根号算法解决CODEVS 3550问题。面对序列的单点修改和极值查询，通过结合线段树与暴力枚举，确定公差d的分界线为K=sqrt(M*N/(M+N)*logN)，使得算法复杂度达到O(M*sqrt(M*logN))。在实际实现时，K取值为15以优化常数。

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大家都知道在OI算法当中复杂度大都是O(N)、O(N^2)、O(NlogN)......比较常见，而O(sqrt(n))的复杂度并不常见，只有分块、朝鲜树（似乎并不常用但确实复杂度带根号）但是在某些意想不到的地方，可以使用根号算法，不仅效果不错，还比较好写。

引出我们今天的题目CODEVS 3550，已知序列a_1,a_2,...a_i...,a_n，可以进行单点修改，（输入格式为(0,x,y)三元组，意即a_x=a_x+y），可以进行极值查询（输入格式为(1,x,d)三元组，意即查询a_x,a_x+d,a_x+2*d...a_x+k*d中最大值，其中满足x+k*d<=n并且x+(k+1)*d>n（通俗一点来说就是，查询一个首项为x，公差为d的等差数列的数组下标集合所对应的元素极值）

我们所学过的数据结构大多支持连续的区间查询，这样零散的数据怎么办呢。我们可以发现，如果公差d比较小，我们可以对于每种公差d建立d棵线段树，分别保存首项为1,2,......,n-1,n公差为d的下标集合所对应的数；但这种方法在d较大时会导致空间和时间的浪费。如果公差d比较大，我们可以直接暴力枚举。于是很容易想到把两种方法结合起来。那么问题来了，d的分界线在哪呢。

设d的分界限为K，序列长度为N，操作数为K，可以算出时间复杂度为O(N*K*logN(建树)+M*logN(线段树查询)+M*N/K(暴力查询)+M*K*logN(线段树修改)）,我们发现这是一个对勾函数，当K=sqrt(M*N/(M+N)*logN)，考虑到N与M大致相同，简化为sqrt(M/logN)。这样算法的复杂度变为O(M*sqrt(M*logN))。根号便奇怪的出现在了时间复杂度当中。

在实际实现过程当中，由于线段树常数过大，K应取小一点。

code：（考虑到上面的K太难算了，我取了个常数15= =）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mid (l+r)/2
#define lch t,i<<1
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