完全二叉树有K层,为什么前K-1层的结点数之和等于2^(K-1)-1

完全二叉树的前K-1层节点数构成等比数列,根据等比数列求和公式,节点数之和为2^(K-1) - 1。通过节点编号的规律,可以理解这种对应关系,同时总节点数n为2^K时,树的高度K等于logn。

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完全二叉树

层数          ~~~~~~~~~~          该层结点数
1           ~~~~~~~~~~           2^(1-1) = 2^0=1
2           ~~~~~~~~~~           2^(2-1) = 2^1=2
3           ~~~~~~~~~~           2^(3-1) = 2^2=4
          ~~~~~~~~~~           ……
K-1        ~~~~~~~        2^(K-1-1) = 2^(K-2)

可以看出,前K-1层 层层的结点数构成了一个q=2的等比数列,求前K-1层的结点数之和,即求该等比数列之和:S = a1(1-q^n) / (1-q);
已知:a1 = 1,q = 2,n=K-1,
代入可得:S = 2^(K-1) - 1;

这样,也可以理解堆中父结点编号为i,子节点就为2i+1 and 2i+2。
(K-1行结点用K行结点数目的一半来对应K行结点,画个图很容易看出二者的对应编号关系)

由上面我们可以得到,总结点数n为2^K,那么如果已知总结点数n,可以得K(树高) = logn

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