向量组与矩阵秩的计算原理与应用-优快云博客

本文介绍了向量组的秩及其在空间中的几何意义，例如秩为1表示向量在同一直线上，秩为2表示在同平面内。同时，解释了矩阵的行秩和列秩相等即为矩阵的秩，并通过初等变换求解矩阵秩的方法。还通过一个例题展示了如何利用秩的性质解决实际问题，如当AB=O时，求参数t的值。

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1. 向量组的秩

设有向量组 $(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)$ 其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的秩

例:考虑向量组 $α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),α4(1,1,0),α5(1,1,1)\alpha_1(1,0,0),\alpha_2(0,1,0),\alpha_3(0,0,1),\alpha_4(1,1,0),\alpha_5(1,1,1)$ 的秩

解:从题中可明显看出 $α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关,而且 $α5=α1+α2+α3,α4=α1+α2\alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2$ ,所以 $α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是极大线性无关组,向量组 $R=(α1,α2,α3,α4,α5)R=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$ 的秩为3

向量组的秩为1,代表所有向量都在同一直线上
向量组的秩为2,代表所有向量都在同一平面上
向量组的秩为n,代表所有向量都在n-1纬空间内
向量组的秩描述里向量在空间中占据的位置

2. 矩阵的秩

矩阵的行向量组的秩叫做行秩,矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩,并且成为矩阵的秩

定理:

给矩阵做初等变换不改变矩阵的秩
阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数
任何矩阵都可以经过初等行变化化为阶梯形

综合以上三条,我们最后得出求矩阵秩的方法:先对矩阵做初等变化化成行阶梯形,判断行阶梯形矩阵的秩即确定其非零行的行数,即为该矩阵的秩

例: $设A=∣12−24t33−11∣,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为?设A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为?$

解:
$因为 A B = O, 所以 R (A) + R (B) < = n$
$因为 B 为三阶非零方阵, 所以 R (B) > 1$
$可得 R (A) < n$
$A=∣12−24t33−11∣−>∣12−201−10−3−t0∣,因R(A)<n,所以t=−3A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|->|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -3-t & 0 \end{matrix}|,因R(A)<n,所以t=-3$