Educational Codeforces Round 98 (Rated for Div. 2)----D. Radio Towers

本文介绍了一道编程竞赛题目，涉及到概率计算和斐波那契数列。题目要求计算在一定条件下小镇安装灯塔的合法方案概率。解题策略是通过动态规划求解满足条件的方案数，并利用斐波那契数列性质简化计算。最后，通过快速幂运算求解概率值。

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Educational Codeforces Round 98 (Rated for Div. 2)----D. Radio Towers

题目：

在这里插入图片描述

题意：

有n+2个小镇，编号为0 到 n+1,准备安装一些灯塔在编号为1到N的小镇，每个小镇被安装灯塔的概率是1/2,对于每个小镇i，如果安装了一个灯塔，则它能照亮的小镇c满足|c−i|<p。能照亮的距离是你可以自主决定的，例如，灯能照亮的距离是1，那么他就只能照亮他自己，灯能照亮的距离如果是2，那么他除了自己以外，还会照亮左边一个和右边一个。0号位和n+1号位不能被
照亮，1~n号位必须被照亮，且每个点只能被一盏灯照亮，不可以被多盏灯照亮，这样的方案就是合法的，否则非法。题目要求的是合法的概率。

解题思路：

容易看出，对于N个小镇来说，总共的安装方案数是2^N，所以我们需要求出满足要求的方案个数，设dp[i]为小镇为i时所满足要求的方案个数（i≥2）
对于小镇i，若小镇i安装灯塔，方案个数为dp[i-1]
对于小镇i，若小镇i不安装灯塔，被i-1照亮到的方案个数为dp[i-3]
以此类推可得dp[i] = dp[i-1] + dp[i-3]+dp[i-5]+…
可得dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，显然是斐波那契数列的性质

源代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5;
const int mod = 998244353;
int n;
ll f[N];

ll qpow(ll b, ll n)
{
    ll res = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            res = res * b % mod;
        b = b * b % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll init(int n)
{
    f[1] = 1 , f[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
    ll tmp = 1;
    for(int i = 0 ; i < n ; ++i)
        tmp = tmp * 2 % mod;
    return tmp;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ll tmp = init(n);
    printf("%lld\n",f[n] * qpow(tmp,mod - 2) % mod);
    return 0;
}