Leetcode 62,63,64(自顶向下的动态规划)

62题

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

63题

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

64题

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
示例:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

对于62，63和64题的基本解题思路均是动态规划，

(1)机器人只可以向下和向右移动，因此第一行的格子只能从左边的格子移动到，第一列的格子只能从上方的格子移动到。
(2)剩下的格子，可以从左边或者上方的格子移动到。如果格子上有障碍，那么我们不考虑包含这个格子的任何路径。
(3)从左至右、从上至下的遍历整个数组，那么在到达某个顶点之前我们就已经获得了到达前驱节点的方案数，这就变成了一个动态规划问题。我们只需要一个 DP 数组保存到达当前结点的方案数。

1. 如果第一个格点 obstacleGrid[0,0] 是 1，说明有障碍物，那么机器人不能做任何移动，我们返回结果 0。
2. 否则，如果 obstacleGrid[0,0] 是 0，我们初始化这个值为 1 然后继续算法。
3. 遍历第一行，如果有一个格点初始值为 1 ，说明当前节点有障碍物，没有路径可以通过，设值为 0 ；否则设这个值是前一个节点的值 obstacleGrid[i,j] = obstacleGrid[i,j-1]。
4. 遍历第一列，如果有一个格点初始值为 1 ，说明当前节点有障碍物，没有路径可以通过，设值为 0 ；否则设这个值是前一个节点的值 obstacleGrid[i,j] = obstacleGrid[i-1,j]。
5. 现在，从 obstacleGrid[1,1] 开始遍历整个数组，如果某个格点初始不包含任何障碍物，就把值赋为上方和左侧两个格点方案数之和 obstacleGrid[i,j] = obstacleGrid[i-1,j] + obstacleGrid[i,j-1]。
6. 如果这个点有障碍物，设值为 0 ，这可以保证不会对后面的路径产生贡献。

64题

新建一个额外的 dp数组，与原矩阵大小相同。在这个矩阵中，dp(i, j) 表示从坐标 (i, j) 到右下角的最小路径权值。我们初始化右下角的 dp 值为对应的原矩阵值，然后去填整个矩阵，对于每个元素考虑移动到右边或者下面，因此获得最小路径和我们有如下递推公式：

同理先考虑最后一行和最后一列，然后考虑中间的结点。

dp(i,j)=grid(i,j)+min(dp(i+1,j),dp(i,j+1))

上述算法的复杂度分析

时间复杂度 ：O(mn) 遍历整个矩阵恰好一次。
空间复杂度 ：O(mn) 额外的一个同大小矩阵。