Problem 1612 Hero's gcd

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#算法 #C #phi #GCD

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本文探讨了如何使用快速幂算法和快速因子分解技术来解决涉及多个数的最大公约数乘积问题，适用于大规模数据处理场景。

题目大意就是要求下面的G：

G=1;
for(i=1;i<N;i++)
	for(j=i+1;j<=N;j++)
		G*=GCD(i,j);
/* Here GCD() is a function that finds the greatest common divisor of the two input numbers */

思路：

首先N最大为200000不能暴力。

设N的G值为 f[n] 则f[n]=（f[n-1]*gcd（1，n）*gcd（2，n）*。。。*gcd（n-1，n））；
只要求出gcd（1，n）*gcd（2，n）*。。。*gcd（n-1，n）题目就解决了。而与若k=gcd（n，m）则k必然为n的因子。 1=gcd（n/k，m/k）；则n/k与m/k互质。则说明与n最大公约数为k的个数为phi[n/k]；只要枚举出n的因子求出个数。快速幂求解。就能求出gcd（1，n）*gcd（2，n）*。。。*gcd（n-1，n）。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 200001
#define M N+20
#define P 10133
using namespace std;
int phi[M],f[M];
int gao(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=(res*a)%P;
		a=(a*a)%P;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int t,i,tmp,j,k,n,m;
	memset(phi,0,sizeof(phi));
	phi[1]=1;
	for(i=2;i<N;i++)
		if(!phi[i])
		{
			for(j=i;j<N;j+=i)
			{
				if(!phi[j])
					phi[j]=j;
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
			}
		}
	f[2]=1;
	for(i=3;i<N;i++)
	{
		f[i]=f[i-1];
		for(j=2;j*j<i;j++)
		{
			if(i%j!=0)continue;
			tmp=gao(j,phi[i/j]);
			f[i]=(f[i]*tmp)%P;
			tmp=gao(i/j,phi[j]);
			f[i]=(f[i]*tmp)%P;
		}
		if(j*j==i)
		{
			tmp=gao(j,phi[j]);
			f[i]=(f[i]*tmp)%P;
		}
	//	if(f[i]==0)
		//	break;
	}
//	printf("%d\n",i);
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		printf("%d\n",f[n]);
	}
}