[BJOI2018] 双人猜数游戏 题解

这个题最早在 LRJ 的黑书上看到过类似的，当时看的一脸懵逼，不过这次就不是那么懵了。

对着题解看了好久，总觉得哪里还不是太理解，觉得有些地方和自己理解的不一样，于是按自己的理解写一份题解。

实际上这个题的内在逻辑，只要我们拆分出来所有的情况，就很简单了。

用$f[i][j][k]$表示在第 ii 回合（每个人回答一次知道或不知道，算一个回合），第 ii 个人能否确定答案是不是$j,k(j\le k)j$ 这两个数。

那么，这个东西一共就4种情况（拿 Bob 举例）：

• $CASE1$：$f[i-2][j][k]$，也就是如果上一轮这个人已经知道了，那这回合必然也知道。

• $CASE2$：$f[i-1][j+t][k-t](s\le j+t\le k-t)$中，仅有 $f[i-1][j][k]$ 这一项是不知道的，那么 Bob 就能根据上一回合， Alice 回答“不知道”，而得知他的答案是 j,kj,k。

• $CASE3$：$f[i-2][j+t][k-t](s\le j+t\le k-t)$ 中，仅有 $f[i-2][j][k]$ 这一项是不知道的，那么 $Bob$ 显然也能在这一回合确定自己的答案是$j,k$。

• $CASE4$：$f[i-1][j+t][k-t](s\le j+t\le k-t)$ 中，$f[i-1][j][k]$ 是确定的，但 $(j,k)$ 是第 $i-1$ 个回合中，$Alice$ 唯一的新增“确定”，那么 $Bob$ 也就能确定自己的答案是 $j,k$ 了。这一种情况最容易忽视，我因为这个卡了好久。具体怎么理解呢，举个例子：$Bob$ 认为答案可能有 $(1,5),(2,4),(3,3)$ 三种情况，而对于 $Alice$，假设他第一次回答时，只能确定答案是不是 $(1,5)$，也就是 $f[1][1][5]=1$，第二次回答时，只能确定答案是不是 $(1,5)$ 以及 $(3,3)$，也就是 $f[3][1][5]=1,f[3][3][3]=1$，那么，$Bob$ 就能在第$4$回合确定答案是不是 $3,3$ 了，因为如果答案是 $3,3$，那么 $Alice$ 会在第一回合说“不知道”，第三回合说“知道”。$Alice$ 视角的推法一样。情况讨论清楚就可以预处理答案了，预处理结束之后就可以按顺序枚举了，只要

f[t+1][j][k]==1 and f[t+2][j][k]==1 and f[i(for all i < t)][j][k]==0

这对 $j,k$就是一组合法解。

这个做法有一个瑕疵是，对于乘法的分解，有可能分解出来的数很大，数组存不下，但是因为懒，所以就不想改了。

Code:

//如果上一轮，你只在这一种情况不知道，那我就知道了
//如果上上一轮，我只有在这一种情况不知道，那我也知道了 
//如果上一轮，这是你的“首次 ”新增确定，那么我也知道了 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool f[18][305][305];
string S;
int s,t,flag;
void work1(int turn,int j,int  k) //alice
{
	int num1=0,X1=0,Y1=0; //上一回合有几个不确定
	int num3=0,X3=0,Y3=0; //上上回合有几个不确定
	int num4=0,X4=0,Y4=0; //有几个新增确定
	int tot=j*k;
	for (int x=s;x*x<=tot;x++)
	if (tot%x==0 && tot/x<=300)
	{
		int y=tot/x;
		if (turn==1 || f[turn-1][x][y]==0) {num1++; X1=x; Y1=y;}
		if (turn>=3 && f[turn-2][x][y]==0) {num3++; X3=x; Y3=y;}
		if (f[turn-1][x][y]==1) //确定
		if (turn<=3 || f[turn-3][x][y]==0){num4++; X4=x; Y4=y;}
	}
	if (num1==1 && X1==j && Y1==k) f[turn][j][k]=1;
	if (num3==1 && X3==j && Y3==k) f[turn][j][k]=1;
	if (num4==1 && X4==j && Y4==k) f[turn][j][k]=1;
	return;
}

void work2(int turn,int j,int k) //bob
{
	int num1=0,X1=0,Y1=0;
	int num3=0,X3=0,Y3=0;
	int num4=0,X4=0,Y4=0; 
	for (int x=s;x<=j+k-x;x++)
	{
		int y=j+k-x;
		if (turn==1 || f[turn-1][x][y]==0) {num1++; X1=x; Y1=y;}
		if (turn>=3 && f[turn-2][x][y]==0) {num3++; X3=x; Y3=y;}
		if (f[turn-1][x][y]==1) //确定
		if (turn<=3 || f[turn-3][x][y]==0) {num4++; X4=x; Y4=y;}
	}
	if (num1==1 && X1==j && Y1==k) f[turn][j][k]=1;
	if (num3==1 && X3==j && Y3==k) f[turn][j][k]=1;
	if (num4==1 && X4==j && Y4==k) f[turn][j][k]=1;
	return;
}

int main()
{
	cin>>s>>S>>t;
	if (S=="Alice")  flag=0; else flag=1;
	for (int turn=1;turn<=t+2;turn++)
	{
		for (int j=s;j<=300;j++)
			for (int k=j;k<=300;k++)
			{
				if (turn>=3) f[turn][j][k]|=f[turn-2][j][k];
				if (f[turn][j][k]) continue;
				if (flag==0) work1(turn,j,k);
				else work2(turn,j,k);
			}
		flag=1-flag;	
	}
	int sum=s+s;
	while (true)
	{
		if (sum>=1000) break;
		for (int i=s;i<=sum-i;i++)
		{
			int j=sum-i;
			if (f[t+1][i][j]==0  || f[t+2][i][j]==0) continue;
			int flag=0;
			for (int k=1;k<=t;k++) if (f[k][i][j]==1) flag=1;
			if (flag) continue;
			cout<<i<<" "<<j<<endl;
			return 0;
		}
		sum++;
	}
}