【离散化】【DP】命运石之门的选择

$Preface$

这一切，都是命运石之门的选择！

$Description$

在某一条不知名世界线的冈伦今天突然接到了一条dmail，上面说世界线将会发生巨大变动，未来的他无论如何都无法扭转这种变动回到原来的世界线。而世界线变动的原因是现在的他不久后错过了与助手的约会。他约好要和助手去约会，但是在去约会之前，由于一直拖欠房租，房东大叔要求他帮忙完成一幅画的上色，然而他没有以最快的速度完成这个任务，导致他错过了与助手的约会，从而导致世界线的剧变。现在到了拯救世界的时候，由于冈伦并不擅长画画，于是他找到了同样不擅长画画的你来帮他解决这个问题（这是命运石之门的选择）。不管怎样现在拯救世界的重任交到了你的手上，而你虽然不擅长画画，但是你可以使用编程来帮助你解决这个问题。
这幅画十分抽象:它由N个宽度为1高度为Hi的矩形组成，矩形并排排列，相邻的矩形间没有空隙，初始情况下每个矩形都是没有颜色的。你有一个宽度为1的刷子，你可以竖直或水平的刷，每次使用刷子，你的刷子都必须保证一直全部处于矩形中，即不能刷到矩形以外的地方去，当然你每次刷的时候也不能拐弯。你每刷一次，要花费1的时间，这和刷的长度无关，比如你可以从最左边刷到最右边（当然是不经过矩形以外的部分），这也只花费1的时间。你的目的是将全部的矩形都涂满颜色。请输出这个最短的时间，以便冈伦决定是自己来完成这个任务还是让你来做苦力。

$Input$

第1行：一个正整数N，表示矩形的个数。
接下来N个正整数Hi，表示第i个矩形的高度。

$Output$

一个整数，表示最少花费的时间。

$Sample$ $Input$

5
2 2 1 2 1

$Sample$ $Output$

3

$Explain$

30% N<=20, Hi<=100
60% N<=100, Hi<=1000
100% N<=5,000, Hi<=10^9

$Train$ $of$ $Thought$

DP（要离散化）
设$f[i][j]$表示前$i$根柱子画了高度为$j$所需的最少时间
则:
$f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1]+H[j]-H[j-1])$

$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,ans=1e9,H[5005],High[5005],f[5005][5005];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	 {
	 	scanf("%d",&High[i]);
	 	H[i]=High[i];
	 }
	sort(H+1,H+n+1);
	int m=unique(H+1,H+n+1)-(H+1);//离散化+去重
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		memset(f[i],0x3f,sizeof(f[i]));
		f[i][0]=f[i-1][0];
		for (int j=1; j<=m; ++j)
		 {
		 	if (H[j]>High[i]) break;
		 	f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1]+H[j]-H[j-1]);//左边继续往右涂or 上面断了继续画
		 }
		for (int j=0; j<=m; ++j)
		{
			if (H[j]>High[i])break;
			if (H[j]!=High[i]) f[i][j]+=1;
			if (i==n) ans=min(ans,f[i][j]);//求答案
		}
		for (int j=m-1; j>=0; --j)
		 f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j+1]);
	}
	printf("%d",ans);
}