梯度下降法和线性回归：综合指南

引言

梯度下降法是一种常用的优化算法，用于在各种机器学习算法中最小化成本函数，包括线性回归。本文将初步解释梯度下降法和其基本原理，并通过一个使用Python拟合数据的线性模型的实际例子进行演示。

梯度下降法的原理

梯度下降法通过迭代地向最陡下降方向（即梯度的反方向）移动，寻找函数的最小值。该算法通过更新参数来减少成本函数的值。

关键概念

1. 学习率（α：决定每次迭代的步长。学习率过小会导致收敛速度慢，学习率过大可能会导致算法跳过最小值。
2. 成本函数（J）：衡量模型预测值与实际数据之间的差异。在线性回归中，成本函数通常是均方误差（MSE）。
3. 梯度（∇J：成本函数相对于每个参数的偏导数向量。它指向函数值增长最快的方向。

核心公式

梯度下降中的参数更新规则为：

其中：

• θi为第ⅰ次迭代的参数向量，
• α 为学习率，
• ∇J(θi)为成本函数在 θi 处的梯度。

Python示例：拟合线性模型

让我们通过Python示例演示梯度下降法，拟合线性模型到数据集。我们将生成随机的线性数据集，应用梯度下降法，并可视化结果。

第一步：生成随机数据

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机数种子以保证结果可重复
np.random.seed(0)

# 生成随机数据
X = 2 * np.random.rand(1000, 1)
y = 4 + 3 * X +