最小二乘法工程实践

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原创最新推荐文章于 2026-10-04 09:36:09 发布 1.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

三坐标测量中最小二乘法与切比雪夫法的工程实践与优化策略本文深入探讨了三坐标测量中最小二乘法与切比雪夫法（最小区域法）的核心原理与工程应用。通过对比分析，阐述了最小二乘法在建立稳定基准和计算尺寸方面的优势，并强调切比雪夫法是评定形状公差（如圆度、平面度）的国际标准算法。文章结合实战代码与蔡司CALYPSO软件操作，提供了清晰的优化策略与场景选择指南，帮助工程师根据测量任务精准选用算法，确保结果符合功能边界与标准要求。阅读详情

介绍

最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法是一种机器学习算法。

关于其原理的介绍以及公式推导有很多优质资料，比如我学习最小二乘法时的两个视频课程。本文不再介绍原理，而是介绍最小二乘法的工程应用。

数学建模之数据拟合（3）：最小二乘法_哔哩哔哩_bilibili

[知识梳理-04] Recursive Least Squares 递归最小二乘法 RLS_哔哩哔哩_bilibili

工程实践

本文介绍函数拟合与信号预测方面的应用，学会基本的使用之后，读者可以根据自身需求应用到误差估计、参数辨识等领域，具体使用方法可以参考相关文献资料。使用Matlab作为演示，为了展示最小二乘法的向量表示，不使用Matlab的库函数。读者自己使用时也可以使用matlab的函数，比如polyfit、lsqcurvefit等，他们都是基于最小二乘法，根据需求选择函数，查看Matlab帮助文档即可。

用最小二乘求解非线性曲线拟合（数据拟合）问题 - MATLAB lsqcurvefit- MathWorks 中国

多项式曲线拟合 - MATLAB polyfit- MathWorks 中国

计算公式

向量计算

普通的最小二乘法只有两个公式，其中：

inv（A）：求A得逆矩阵

X.' ：求X得转置矩阵

function [ w ] = LS_Fitting( X, Y)
%输入： X 自变量矩阵
%      Y 因变量矩阵
%输出： w 系数矩阵
%作者：飞鸟

P = inv(X.'*X );
w = P * X.' * Y;
 
end

转换优化问题求解

最小二乘法可以转化为优化问题，我们假设目标方程为一阶线性方程，即：y = ax + b ，我们的目的是求解一个合适的a和b，使得目标函数的值最小。通过极值的方法进行求解，会涉及高数中的求偏导。当然不懂偏导也没有关系，我们直接看求解结果，会使用就行。

求解结果：

在c语言中，不方便进行矩阵、向量运算，可以直接使用a、b的求解结果。实际使用时，x与y均为已知量。计算为最基本的加减乘除运算，我们很容易写出运算的代码。

a、b为一阶线性方程的解，一般一阶线性方程就可以了，如果需要其他目标方程，可以去查阅相关资料，查找的资料也是直接查找对应的系数值（a、b、...）就行，不用关注推导过程。

函数拟合

我们已经介绍了2种最小二乘法的计算方法，可以根据数据求解出我们需要的目标方程，以下是算法实践。

线性方程

目标方程：y = ax + b

系数矩阵：w = [a;b];

以奥运会历年男子百米成绩作为数据，历年年份写为自变量矩阵。历年成绩写为因变量矩阵。注意X自变量矩阵的写法，之后看到非线性方程会更加清晰。

X = [ 1980 1
      1984 1
      1988 1
      1992 1
      1996 1
      2000 1
      2004 1
      2008 1
      2012 1
      2016 1
      2020 1 ];
Y = [ 10.25
      9.99
      9.92
      9.96
      9.84
      9.87
      9.85
      9.69
      9.63
      9.81
      9.80];

w= LS_Fitting( X, Y);

将数据输入函数LS_Fitting计算得到系数矩阵。获得系数矩阵w，就拟合出了线性方程y = ax + b
数据对比如下图，拟合数据基本复合实际数据的趋势。

非线性方程

目标方程：y = ax^2 + bx + c

系数矩阵：w = [a;b;c];

以奥运会历年男子百米成绩作为数据，历年年份写为自变量矩阵。历年成绩写为因变量矩阵。注意X自变量矩阵的写法，自变量矩阵的写法包含了目标方程的信息。

X = [ 1980*1980 1980 1
      1984*1984 1984 1
      1988*1988 1988 1
      1992*1992 1992 1
      1996*1996 1996 1
      2000*2000 2000 1
      2004*2004 2004 1
      2008*2008 2008 1
      2012*2012 2012 1
      2016*2016 2016 1
      2020*2020 2020 1];
Y = [ 10.25
      9.99
      9.92
      9.96
      9.84
      9.87
      9.85
      9.69
      9.63
      9.81
      9.80];

w= LS_Fitting( X, Y);