最近在为蓝桥杯（C++大学A组）做准备，打算拿蓝桥杯题库中的题目训练一下，有一段时间没有使用过C++编程了，毕竟学校的课程还是很紧张的，新内容很多，课外时间我也喜欢去尝试接触新的语言新的东西，于是想借此机会锻炼一下自己的C++编程能力（毕竟我是打算向着C/C++、C#方向发展）。在这个过程中发现了许多问题以及自己不了解的知识点，决定在优快云上记录一下，另外本人也大三了，整理一个自己的blog/github对将来考研或者找工作也有帮助嘛。
《审美课》这个问题不算是我遇到的第一个问题了吧，但是暂时还是从这个问题记录起。
问题描述
《审美的历程》课上有n位学生，帅老师展示了m幅画，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五岁小朋友之手。老师请同学们分辨哪些画的作者是梵高，但是老师自己并没有答案，因为这些画看上去都像是小朋友画的……老师只想知道，有多少对同学给出的答案完全相反，这样他就可以用这个数据去揭穿披着皇帝新衣的抽象艺术了（支持帅老师 ^ _ ^）。
答案完全相反是指对每一幅画的判断都相反。
输入格式
第一行两个数n和m，表示学生数和图画数；
接下来是一个n*m的01矩阵A：
如果aij=0，表示学生i觉得第j幅画是小朋友画的；
如果aij=1，表示学生i觉得第j幅画是梵高画的。
样例输入
3 2
1 0
0 1
1 0
样例输出
2
样例说明
同学1和同学2的答案完全相反；
同学2和同学3的答案完全相反；
所以答案是2。
数据规模和约定
对于50%的数据：n<=1000；
对于80%的数据：n<=10000；
对于100%的数据：n<=50000，m<=20。
看到这个问题，加上它的关键字显示只有一个词——“逻辑”，我心里就想着：这题稳了，这还不简单吗？没有多加思考，第一反应就是“蛮力法”解决它，别问，问就是暴力解题！
1）输入矩阵的规格n，m，用一个二维数组a[n][m]表示；
2）再用一个双重循环输入矩阵的内容，完成对矩阵的初始化；
3）再用一个三重循环完成比对：
a）一重循环：i从0 ~ n - 1，表示要进行比对的a[i]序列；
b）二重循环：j从i + 1 ~ n，表示要与a[i]序列进行比对的a[j]序列；
c）三重循环：k从0 ~ m，依次对比a[i][k]与a[j][k]是否相同，若相同则立即break，当二重循环结束
以后，判断k与m是否相等，若相等，则说明两个序列完全相反，反之则不然。
多简洁清晰的思路呀，我自己都服了我自己在如此短的时间内就理清了整个过程，于是一阵噼里啪啦的敲击键盘过后，我的第一版代码“油然屏幕上”。
第一版代码
#include <iostream>
using namespace std;
int a[50000][20];
int main(int argc, char *argv[]) {
int n, m, ans = 0;
cin >> n >> m;//输入数组规模
if(n > 50000 || m > 20){
cout << "error";
return 0;
}
//通过输入为数组赋值
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < m; j++){
cin >> a[i][j];
}
}
//逐一比对
int i, j, k;
for(i = 0; i < n - 1; i++){
for(j = i + 1; j < n; j++){
for (k = 0; k < m; k++){
//若两个序列的某一位相同，则这两个序列必不可能完全相反，跳出循环，进行下一个比对。
if(a[i][k] == a[j][k]){
break;
}
}
if(k == m){
ans++;
}
}
}
cout << ans;
return 0;
}
本以为这样就100分满分了，谁知提交代码之后……
……
……
……
……
WTF？！运行超时！不要慌不要慌，一定是数组规模太大或者比较次数太多，导致数据量过大的时候运算复杂运算量比较大，这是在提醒我蛮力法解决不了这个问题，需要采用优化算法。在第二版代码出来以前，我脑海中闪过这么几种想法：
Plan A：不一行一行进行比对，而是竖着一列一列进行比对，比如说拿a[0]这个序列去进行比对的话，
首先将a[0][0]与a[1][0] ~ a[n][0]进行比对，找出与a[0][0]相反的所有序列，再在这些序列中进
行与a[0][1]的比对，以此类推……但是这个想法很快被我pass了，一是因为我觉得更加复杂，
特别是每次比对之后找出的相反的序列该怎么存储，二是因为我觉得这个想法和我采用的“蛮
力法”没有太大的区别，在时间复杂度上，最坏情况都是遍历完整个数组，在某种意义上和“蛮
力法”没有太大差别，反而搞的更复杂。
Plan B：当我在找与a[0]这个序列完全相反的序列时，我是要遍历剩余的所有序列的，那我能否记录下
与a[0]完全相同的序列，并且记录下它们的行号，当我在进行这些行的对比时，因为我对a[0]
进行过比对，且它们和a[0]完全相同，那么我可以省去这些行的遍历了。虽然这个想法可能
比“蛮力法”省去了很多比对的次数，但是我并没有去尝试，我始终没有找到一个很简洁的能够
存储这些相同序列的方法。
Plan C：这个想法就更是一闪而过就被我pass了。我想着对每一个序列进行比对时都构建一个二维数
组，第0行就是第一个序列，第0列就是第二个序列，a[i][i]表示两个序列的第i位是否相同，以
此来判断两个数组是否完全相反。没作多想，就觉得这样需要的内存会大得多，比对次数也
可能更多，pass。
实在没有办法了，在与室友进行讨论之后萌发了一个新的想法，就是用一个数组来存储每一个序列0或者1的个数，如果两个序列完全相反的话，那么这两个序列的0的个数之和一定为n（假设序列长度为n），那么就可以通过这个新的数组，来在比对前就判断即将进行比对的两个序列有没有比对的必要，这样就可以省去很多无效的比较，于是第二版代码应时而生。
第二版代码
#include <iostream>
using namespace std;
int a[50000][21]; //第21位用来存储该序列0的个数
int main(int argc, char *argv[]) {
int n, m, ans = 0;
cin >> n >> m;//输入数组规模
if(n > 50000 || m > 20){
cout << "error";
return 0;
}
//通过输入为数组赋值
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < m; j++){
cin >> a[i][j];
}
a[i][m] = 0;//序列a[i]中0的个数初始化为0
}
//计算每个序列中0的个数
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < m; j++){
if(a[i][j] == 0){
a[i][m]++;
}
}
}
int i, j, k;
for(i = 0; i < n - 1; i++){
for(j = i + 1; j < n; j++){
if(a[i][m] == a[j][m]){
for (k = 0; k < m; k++){
if(a[i][k] == a[j][k]){
break;
}
}
if(k == m){
ans++;
}
}
}
}
cout << ans;
return 0;
}好吧……得分比“蛮力法”稍微高了那么一点，在某些用例上也确实有优化，可是当数据过大的时候还是超时……万般无奈之下只得去借鉴大佬的做法。
第三版代码（搬运自优快云大佬）
#include<iostream>
using namespace std;
int m,n,A[50005];
int ans[2000000]={0};
int sum = 0;
int main(){
cin>>n>>m;//输入学生数和画数
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<m;j++){
int temp;
cin>>temp;
A[i] =(A[i]<<1)+temp;//2进制保存
}
ans[A[i]]++;//获得每个答案的人数
}
int max = (1<<m)-1;
for(int i=0;i<n;i++){
int temp = A[i]^max;//按位取反
sum += ans[temp] ;
}
cout<<sum/2<<endl;
return 0;
} 仔细研究了一下大佬的算法，实现了“精确匹配”，这样不需要在对每个序列比对时都遍历剩余的序列，粗略分析了一下，该算法的时间复杂度为O(n)，而蛮力法的时间复杂度为O(n2)（如有不对望指正），事实上也确实如此，在数据量变大时也节省了巨额时间。
总结
总结一下从大佬的代码中学到的东西吧！首先是大佬的方法从某种意义上解决了我Plan B中的问题，如何来存储完全相同的两个序列：用一个长度为2m的一维数组，来表示对应每个十进制的值的二进制序列有多少个（或者说是“计数数组”），将相同的序列化为一“组”，能很大程度的减少无效比对，这也是我Plan B的思想。其次就是，用异或运算实现比对的效果，而且与哪个数进行异或也很巧妙，若二进制序列长度为n，则与1…1（n个1）进行异或（这里我觉得用非运算也可以，进而引发了我对异或运算与非运算的思考，详见(https://bbs.youkuaiyun.com/topics/392552616)）如果说两两比对是漫无目的“扫荡”，那么异或运算就是实现了“精准打击”！对一个二进制序列对应的十进制i进行异或运算，得到了十进制数j，只需去查找a[j]对应的值，即可找到与该二进制序列完全相反的序列个数，可以说是更快更准，更加减少了无效运算的次数。最后就是输出结果上，一定要除以2，因为在这个算法中a与b完全相反计算了一次，b与a完全相反也计算了一次，进行了重复计数因此要除以2。
P.S.第一次发博，这个优快云的MarkDown编辑器可坑死我了……不知道是不是我用edge浏览器的原因，每次粘贴代码进来，这个编辑器就变为一片空白，也不能进行任何操作，有时候连把打好的内容选中都不行，只有重新再打一遍。搞得我后来每次插入代码之前都得先备份一下，提心吊胆的……
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