Binary Search Tree

二叉搜索树性质

一个二叉搜索树具有以下性质

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树
• 没有键值相等的节点

二叉搜索树特点

由于二叉搜索树的特点，在进行查找、插入、删除时，时间复杂度最好能到$O(logn)$，但是最差的情况在$O(n)$，此时二叉搜索树退化成一个有序链表。
二叉搜索树的中序遍历序列就是二叉搜索树上所有节点的排好序的序列

二叉搜索树算法

查找

在二叉搜索树b中查找x的过程为：

• 若b是空树，则搜索失败
• 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功
• 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树
• 若x大于b的根节点的数据域之值，则搜索右子树

插入

向一个二叉搜索树b中插入一个节点s的算法，过程为：

• 若b是空树，则将s所指节点作为根节点插入
• 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回
• 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中
• 若s->data大于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到右子树中

删除

在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：

1. 若*p结点为叶子结点，即PL（左子树）和PR（右子树）均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其父亲结点的指针即可
2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其父亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉查找树的特性
3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右（依*p是*f的左子树还是右子树而定）子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（in-order predecessor）或直接后继（in-order successor）替代*p，然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱（或直接后继）

二叉搜索树优化

• Size Balanced Tree(SBT)
• 加权平衡树(WBT)
• AVL树
• 红黑树
• Treap(Tree+Heap)

这些均可以使查找树的高度为$O(logn)$

参考自：wiki