AVL树

最新推荐文章于 2022-07-31 15:24:25 发布
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分类专栏： 数据结构
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AVL树

AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树

  • 在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树
  • 查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
  • 节点的平衡因子是它左、右子树的高度之差，如果这个差大于等于2就是不平衡的，即在AVL树中任意节点的左右子树的高度之差不大于1
  • 对于不平衡的树，需要对其做旋转操作使其平衡

AVL树算法

AVL树的基本操作一般涉及运作同在不平衡的二叉查找树所运作的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的"AVL旋转"。

以下图表以四列表示四种情况，每行表示在该种情况下要进行的操作。在左左和右右的情况下，只需要进行一次旋转操作；在左右和右左的情况下，需要进行两次旋转操作

在这里插入图片描述

求平衡因子

递归地去搜索左右子树的平衡因子并加1，如果当前节点是空节点，就返回0

搜索

可以像普通二叉查找树一样的进行，所以耗费O(log n)时间，因为AVL树总是保持平衡的。不需要特殊的准备，树的结构不会由于查找而改变。（这是与伸展树搜索相对立的，它会因为搜索而变更树结构

插入

在将值val插入树根节点root时需要先进行判断

  • root为空，直接将root的val等于val
  • val &lt; \lt <root.val，将val插入root的左子树，同时判断插入后root的左右子树的平衡因子，如果不平衡
    • 如果val &lt; \lt <root.left.val，就需要将root右旋
    • 如果val &gt; \gt >root.left.val，就需要先将root.left左旋然后将root右旋
  • val &gt; \gt >root.val，将val插入root的右子树，同时判断插入后root的左右子树的平衡因子，如果不平衡
    • 如果val &lt; \lt <root.right.val，就需要先将root.right右旋然后将root左旋
    • 如果val &gt; \gt >root.right.val，就需要将root左旋
删除

从AVL树中删除，可以通过把要删除的节点向下旋转成一个叶子节点，接着直接移除这个叶子节点来完成。因为在旋转成叶子节点期间最多有log n个节点被旋转，而每次AVL旋转耗费固定的时间，所以删除处理在整体上耗费O(log n) 时间

参考自：wiki

AVL树及其基本操作
爱技术的小白
06-27 596
本文是介绍AVL树及其插入操作。 1 AVL简介 AVL树是一种特殊的BST树，特殊的地方在于，左右子树高度的绝对值不超过一，所以在构建AVL树的时候，需要调整，以保证平衡。AVL树的作用与BST树是一样的，主要用于快速查找。 2 树的结构 class Tree<T extends Comparable<T>> { private static final int MAX_HEIGHT_DIFFERENCE = 1; private Node<T> roo
AVL树的基本操作
didi1663478999的博客
10-01 410
AVL树的性能 AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证 查询时高效的时间复杂度，即log2(N)log_2 (N)log2​(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位 置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数...
平衡二叉树（AVL树）的基本操作（附有示意图）
lovecontry
08-10 462
平衡二叉树关于树的深度是平衡的，具有较高的检索效率。平衡二叉树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉排序树：其左子树和右子树都是平衡二叉树，而且左右子树深度之差绝对值不超过1. 由此引出了平衡因子（balance factor）的概念，bf定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度（有些书是右子树深度减去左子树深度，我是按照左子树减去右子树来计算的，下面的代码也是这样定义的），所以平衡二叉树的结点的...
AVL树基本操作
championjava的专栏
04-05 1193
一、什么是AVL树        AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。
C++实现AVL树的基本操作
痴心不改的博客
08-29 629
AVLTree.hpp #pragma once #include&lt;iostream&gt; using namespace std; #include&lt;stdlib.h&gt; template&lt;class K,class V&gt; struct AVLTreeNode { AVLTreeNode&lt;K, V&gt;* _left; AVLTreeNo...
AVL树数据结构平衡二叉查找树
07-16
在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者...
二叉查找树，AVL树
01-07
AVL树（平衡二叉查找树） 具有二叉查找树的全部特性。 每个节点的左子树的高度和右子树高度差值小于等于1（平衡二叉树的性质） 左旋：逆时针旋转两个节点，原先的右节点成为新的父节点，原先的父节点成为原先的右...
avlTree:通用AVL树数据结构
06-18
在AVL树中，任何节点的两个子子树的高度最多相差1； 如果在任何时候它们相差超过 1，则进行重新平衡以恢复此属性。 查找、插入和删除在平均和最坏情况下都需要 O(log n) 时间，其中 n 是操作之前树中的节点数。 ...
AVL树的定义以及基本操作（完美版）
02-24
是二叉树的基本操作 avlTree MakeEmpty(avlTree T); avlTree Find(avlTree T,ElemType e); avlTree FindMin(avlTree T); avlTree FindMax(avlTree T); avlTree Insert(avlTree T,ElemType e); avlTree Delete(avlTree T,ElemType e); int Depth(avlTree T); //ElemType Retrieve(avlTree p); /**************************************/ void preOrderTraverse(avlTree T); void inOrderTraverse(avlTree T); void postOrderTraverse(avlTree T); void levelOrderTraverse(avlTree T);
AVL树的定义和基本操作
Ben的专栏
01-15 3060
AVL树是带有平衡的二叉查找树！一颗AVL树的每一个结点的左子树和右子树的深度最多只有1的差距，这就保持了这颗二叉树的平衡！很大程度的提高了树的使用效率！ 当我们对树进行一系列操作（插入、删除等）后，AVL树很可能就不能保持AVL的特性，所以在进行操作时，我们必须重新平衡这颗二叉树！ 我们把必须重新平衡的结点叫做α（这样可以减少很多文字，又好理解），由于任意结点最多只有两个儿子，因此出现高度不
AVL树及其相关操作
weixin_45696320的博客
07-31 510
AVL树及其相关操作
Avl树的基本操作（c语言实现）
王鹏的博客
03-17 3739
#include #include typedef struct AvlNode *Position; typedef struct AvlNode *AvlTree; typedef int ElementType; struct AvlNode{ ElementType Element; AvlTree Left; AvlTree Right; int Height; }AvlNo
avl树的基本操作
LeetCode
05-10 434
#include&lt;cstdio&gt;#include&lt;algorithm&gt;#include&lt;queue&gt;using namespace std;struct node{    int v,height; //v为节点的权值,height为当前子树的高度    node *lchild,*rchild; //左右子树结点地址} *root;// 新建根节点node* ...
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Avl树
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AVL树是一种自平衡的二叉查找树，它确保了树的高度始终保持在对数级别，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。这种数据结构以它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名[^1]。 ### AVL树的定义 - **平衡因子**：每个节点都有一个平衡因子，它是该节点左子树的高度减去右子树的高度。对于AVL树来说，所有节点的平衡因子只能是-1, 0或1。 - **空树**：如果T是空树，则它自然是一个AVL树。 - **非空树**：若T不是空树，则其左右子树TL和TR都必须是AVL树，并且对于任意节点，|HL - HR| ≤ 1（其中HL和HR分别表示左子树和右子树的高度）。 ### AVL树的操作 当进行插入或删除操作时，可能会破坏AVL树的平衡性，这时需要通过旋转来重新恢复平衡： - **单旋转**： - 左单旋（Single Rotate with Left）用于处理左孩子的左子树过高。 - 右单旋（Single Rotate with Right）用于处理右孩子的右子树过高。 - **双旋转**： - 左右双旋（Double Rotate with Left）用于处理左孩子的右子树过高的情况。 - 右左双旋（Double Rotate with Right）用于处理右孩子的左子树过高的情况。 这些旋转操作可以保持AVL树的性质不变，并且能够快速地调整树的结构以维持平衡。 ### AVL树的实现 下面是一个简单的C语言代码示例，展示了如何定义AVL树的节点以及实现基本的插入操作。这个例子中包含了必要的函数声明和一些核心逻辑。 ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义AVL树节点结构体 typedef struct AvlNode { int element; struct AvlNode *left; struct AvlNode *right; int height; // 节点的高度 } *AvlTree, *Position; // 获取两个整数中的较大者 int max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } // 计算给定节点的高度 static int Height(AvlTree T) { if (T == NULL) return -1; // 空节点高度为-1 else return T->height; } // 单旋转 - 左左情况 AvlTree singlerotatewithLeft(AvlTree K2) { Position K1 = K2->left; K2->left = K1->right; K1->right = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->left), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 单旋转 - 右右情况 AvlTree singlerotatewithRight(AvlTree K2) { Position K1 = K2->right; K2->right = K1->left; K1->left = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->right), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 双旋转 - 左右情况 AvlTree doublerotatewithLeft(AvlTree K3) { K3->left = singlerotatewithRight(K3->left); return singlerotatewithLeft(K3); } // 双旋转 - 右左情况 AvlTree doublerotatewithRight(AvlTree K3) { K3->right = singlerotatewithLeft(K3->right); return singlerotatewithRight(K3); } // 插入新元素到AVL树中 AvlTree Insert(int x, AvlTree T) { if (T == NULL) { // 如果树为空，创建新节点 T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode)); if (T == NULL) printf("Out of space!!!"); else { T->element = x; T->left = T->right = NULL; T->height = 0; // 新叶节点高度为0 } } else if (x < T->element) { // 向左子树插入 T->left = Insert(x, T->left); // 检查并修复平衡 if (Height(T->left) - Height(T->right) == 2) { if (x < T->left->element) T = singlerotatewithLeft(T); // 左左旋转 else T = doublerotatewithLeft(T); // 左右旋转 } } else if (x > T->element) { // 向右子树插入 T->right = Insert(x, T->right); // 检查并修复平衡 if (Height(T->right) - Height(T->left) == 2) { if (x > T->right->element) T = singlerotatewithRight(T); // 右右旋转 else T = doublerotatewithRight(T); // 右左旋转 } } // 更新高度 T->height = max(Height(T->left), Height(T->right)) + 1; return T; } ``` 上述代码提供了AVL树的基本框架，包括节点定义、插入操作及必要的旋转方法。实际应用中可能还需要添加更多的功能，如删除节点、查找特定值等。
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