[Luogu P3321] [BZOJ 3992] [SDOI2015]序列统计

最新推荐文章于 2024-08-13 09:45:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-13 09:45:00 发布 · 225 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#数学 #FFT #NTT

数学同时被 3 个专栏收录

122 篇文章

订阅专栏

NTT

10 篇文章

订阅专栏

FFT

7 篇文章

订阅专栏

题目描述

小C有一个集合 $S$ ，里面的元素都是小于 $M$ 的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为 $N$ 的数列，数列中的每个数都属于集合 $S$ 。小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数 $x$ ，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积 $mod\ M$ 的值等于 $x$ 的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列 ${A_i\}$ 和 ${B_i\}$ 不同，当且仅当至少存在一个整数 $i$ ，满足 $A_i≠B_i$ 。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案 $mod\ 1004535809$ 的值就可以了。

输入输出格式

输入格式：

一行，四个整数， $N$ 、 $M$ 、 $x$ 、 $∣ S ∣$ ，其中 $∣ S ∣$ 为集合 $S$ 中元素个数。第二行， $∣ S ∣$ 个整数，表示集合 $S$ 中的所有元素。

输出格式：

一行，一个整数，表示你求出的种类数 $mod\ 1004535809$ 的值。

输入输出样例

输入样例#1：

4 3 1 2
1 2

输出样例#1：

说明

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据， $1\le N\le 1000$ ；

对于30%的数据， $3\le M\le 100$ ；

对于60%的数据， $3\le M\le 800$ ；

对于全部的数据， $1\le N\le 10^9$ ， $3\le M\le 8000$ ， $M$ 为质数， $1\le x\le M-1$ ，输入数据保证集合 $S$ 中元素不重复

解题分析

看到 $M$ 是个小质数，而我们要求的是一个余数，显然可以转化为原根的次幂，这样就将乘法转化为了加法。

发现方案的转移是一个卷积，这样直接大力 $N T T$ 加上快速幂转移就好。

总复杂度 $O (M l o g (M) l o g (N))$ 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 40050
#define G 3
#define Ginv 334845270
#define MOD 1004535809
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
IN int fpow(R int base, R int tim, R int mod)
{
	int ret = 1;
	W (tim)
	{
		if (tim & 1) ret = 1ll * ret * base % mod;
		base = 1ll * base * base % mod, tim >>= 1;
	}
	return ret;
}
int N, M, x, S, fcnt, bd;
int rev[MX], res[MX], a[MX], b[MX], cnt[MX], fac[MX], pos[MX];
IN void NTT(int *dat, R int len, R bool typ)
{
	for (R int i = 0; i < len; ++i) if (rev[i] > i) std::swap(dat[i], dat[rev[i]]);
	R int seg, now, cur, step, bd, buf1, buf2, deal, base;
	for (seg = 1; seg < len; seg <<= 1)
	{
		base = fpow(typ ? G : Ginv, (MOD - 1) / (seg << 1), MOD); step = seg << 1;
		for (now = 0; now < len; now += step)
		{
			deal = 1, bd = now + seg;
			for (cur = now; cur < bd; ++cur, deal = 1ll * deal * base % MOD)
			{
				buf1 = dat[cur], buf2 = 1ll * dat[cur + seg] * deal % MOD;
				dat[cur] = (buf1 + buf2) % MOD, dat[cur + seg] = (buf1 - buf2 + MOD) % MOD;
			}
		}
	}
	if (typ) return; int inv = fpow(len, MOD - 2, MOD);
	for (R int i = 0; i < len; ++i) dat[i] = 1ll * dat[i] * inv % MOD;
}
void pre()
{
	int bd = std::sqrt(M - 1), tmp = M - 1;
	for (R int i = 2; i <= bd; ++i)
	{
		if (!(tmp % i))
		{
			fac[++fcnt] = i;
			if (i != tmp / i) fac[++fcnt] = tmp / i;
		}
	}
}
IN bool check(R int val)
{
	for (R int i = 1; i <= fcnt; ++i)
	if (fpow(val, fac[i], M) == 1) return false;
	return true;
}
IN void find()
{
	for (R int i = 2; i < M; ++i)
	if (check(i))
	{
		int bd = M - 1, now = 1;
		for (R int j = 0; j < bd; ++j, now = now * i % M) pos[now] = j;
		return;
	}
}
IN void Mul(int *res, int *mul, R int len)
{
	for (R int i = bd; i < len; ++i) a[i] = b[i] = 0;
	for (R int i = 0; i < bd; ++i) a[i] = res[i], b[i] = mul[i], res[i] = 0;
	NTT(a, len, 1), NTT(b, len, 1);
	for (R int i = 0; i < len; ++i) a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MOD;
	NTT(a, len, 0);
	for (R int i = 0; i < len; ++i) (res[i % bd] += a[i]) %= MOD;
}
int main(void)
{
	int foo;
	in(N), in(M), in(x), in(S);
	pre(); find(); bd = M - 1;
	for (R int i = 1; i <= S; ++i)
	{
		in(foo); foo %= M;
		if (!foo) continue;
		++cnt[pos[foo]];
	}
	int lg = 0, len = 1; --N;
	for (R int i = 0; i < bd; ++i) res[i] = cnt[i];
	for (; len <= (bd << 1); lg++, len <<= 1);
	for (R int i = 1; i < len; ++i) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << lg - 1);
	W (N)
	{
		if (N & 1) Mul(res, cnt, len);
		Mul(cnt, cnt, len), N >>= 1;
	}
	printf("%d", res[pos[x]]);
}