[SP19149] INS14H - Virus Revisited

最新推荐文章于 2024-11-16 08:06:03 发布

LPA20020220

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分类专栏：数学排列组合文章标签：数学排列组合

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探讨在n维空间中细胞增殖问题，通过动态规划求解特定条件下原点细胞数量。分析问题转换为求解回原点路径数，采用分维度考虑策略，实现O(N^3+Q)复杂度算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意翻译

• 在一个 n 维无限空间中，一开始原点处有一个细胞。

• 细胞每秒都会增殖，每个原有细胞在增值后都会消亡，在与它曼哈顿距离恰为 1 的所有位置都会新增一个细胞。

• 求 T 秒后，原点处会有多少细胞，答案 %(1e9+7)。

• Q 组询问。Q≤20000 n≤100 T≤200。

输入输出格式

输入格式

第一行一个正整数 $Q$ 。

以下 $Q$ 行，每行两个正整数 $n, T$ ，表示一组询问。

输出格式

$Q$ 行，每行分别代表该组询问的答案。

输入输出样例

输入样例：

输出样例

2
0
6

解题分析

不难发现，题目就是让我们求 $n$ 维空间中一条能够回到原点、长度为 $T$ 的路径。

考虑分开每一维考虑，设 $d p [i] [j]$ 表示当前考虑（并不是已经使用）了 $i$ 个维度，走了 $j * 2$ 步后回到原点的方案数，这样就对 $d p [i + 1] [j + k]$ 有 $\binom{2*(j+k)}{2*k}\binom{2*k}{k}*dp[i][j]$ 的贡献。

怎么理解这个呢？其实就是从总步数中选出了 $2 * k$ 步分配到其他的一个维度上，然后从 $2 * k$ 步中选出 $k$ 步向正方向走，这样当 $k = 0$ 的时候就等于并不使用这个维度，这样就没有考虑漏情况。

总复杂度 $O(N^3+Q)$ 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 505
#define ll long long
#define MOD 1000000007
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
ll C[MX][MX], dp[MX][MX];
void pre()
{
	for (R int i = 0; i <= 200; ++i) C[i][0] = 1;
	for (R int i = 1; i <= 200; ++i)
	for (R int j = 1; j <= i; ++j)
	C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD;
	dp[0][0] = 1;
	for (R int i = 0; i < 100; ++i)
	for (R int j = 0; j <= 100; ++j)
	{
		for (R int k = 0; j + k <= 100; ++k)
		(dp[i + 1][j + k] += C[2 * (k + j)][2 * k] * C[2 * k][k] % MOD * dp[i][j] % MOD) %= MOD;
	}
}
int main(void)
{
	int q, n, t;
	in(q); pre();
	W (q--)
	{
		in(n), in(t);
		if (t & 1) {puts("0"); continue;}
		else printf("%lld\n", dp[n][t >> 1]);
	}
}