【题解】SP19149 Virus Revisited

题意

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Solution

由于最后求的是原点的细胞数，那么一定是先从原点向外扩展，再扩展回来到达原点。那么我们就可以把答案转化为从原点出发，经过$T$时间回到原点的方案数。

于是我们考虑$dp$，设$f[i][j]$表示用$i$个维度，经过$2j$的时间回到原点的方案数（显然奇数时间答案为0）。那么我们考虑对于一个新的维度$i+1$和新的时间$2(j+k)$，我们可以从所有时间中，用$2k$时间去第$i+1$个维度，于是得到方案$C_{2(j+k)}^{2k}$，同时这$2k$时间中，我们又需要分配$k$的时间向外扩展，剩余$k$的时间向内扩展，于是又有方案数$C_{2k}^k$，所以可以得出转移方程：
$$f[i+1][j+k]=f[i][j]\ast C_{2(j+k)}^{2k}\ast C_{2k}^k$$
于是进行一遍预处理，复杂度$O(n^3)$，然后$O(1)$处理每个询问。总复杂度$O(n^3+Q)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define P ((ll)1e9+7)
#define MAX 205
using namespace std;

ll C[MAX][MAX], f[MAX][MAX];

void init(){
	C[0][0] = C[1][1] = 1;
	for(int i = 1; i <= 200; i++){
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= i; j++){
			C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		}
	}
}

int main()
{
	init();
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 0; i <= 100; i++){
		for(int j = 0; j <= 100; j++){
			for(int k = 0; k+j <= 100; k++){
				f[i+1][j+k] += f[i][j]*C[2*(j+k)][2*k]%P*C[2*k][k]%P;
				f[i+1][j+k] %= P;
			}
		}
	}
	int t, n, T;
	cin >> t;
	while(t--){
		scanf("%d%d", &n, &T);
		if(T&1) puts("0");
		else
			printf("%lld\n", f[n][T/2]);
	}
	
	return 0;
}