[Luogu P4274] [BZOJ 1505] [NOI2004]小H的小屋

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题目描述

小 H 发誓要做 $21$ 世纪最伟大的数学家。他认为，做数学家与做歌星一样，第一步要作好包装，不然本事再大也推不出去。为此他决定先在自己的住所上下功夫，让人一看就知道里面住着一个“未来的大数学家”。

为了描述方便，我们以向东为 $x$ 轴正方向，向北为 $y$ 轴正方向，建立平面直角坐标系。小 H 的小屋东西长为 $100$Hil（Hil 是小 H 自己使用的长度单位，至于怎样折合成$m$，谁也不知道）。东墙和西墙均平行于 $y$ 轴，北墙和南墙分别是斜率为 $k_1$ 和 $k_2$ 的直线，$k_1$ 和 $k_2$ 为正实数。北墙和南墙的墙角处有很多块草坪，每块草坪都是一个矩形，矩形的每条边都平行于坐标轴。相邻两块草坪的接触点恰好在墙上，接触点的横坐标被称为它所在墙的“分点”，这些分点必须是 $1$ 到 $99$ 的整数。

小 H 认为，对称与不对称性的结合才能充分体现“数学美”。因此，在北墙角要有 $m$ 块草坪，在南墙角要有 $n$ 块草坪，并约定 $m\le n$。如果记北墙和南墙的分点集合分别为 $X_1$，$X_2$，则应满足 $X_1\subseteq X_2$，即北墙的任何一个分点一定是南墙的分点。

由于小 H 目前还没有丰厚的收入，他必须把草坪的造价降到最低，即草坪 的占地总面积最小。你能编程帮他解决这个难题吗？

输入输出格式

输入格式：

仅一行，包含 $4$ 个数 $k_1$，$k_2$，$m$，$n$。$k_1$ 和 $k_2$ 为正实数，分别表示北墙和南墙的斜率，精确到小数点后第一位。$m$ 和 $n$ 为正整数，分别表示北墙角和南墙角的草坪的块数。

输出格式：

一个实数，表示草坪的最小占地总面积。精确到小数点后第一位。

输入输出样例

输入样例#1：

0.5 0.2 2 4

输出样例#1：

3000.0

说明

【约定】

• $2\le m\le n\le 100$
• 南北墙距离很远，不会出现南墙草坪和北墙草坪重叠的情况

解题分析

贪心地想， 想要最小化面积， 肯定就要均分上下的边长。 所以我们可以先将北墙划分为两个部分： 左边的一部分有$m-nmodm$块， 每块对应的南墙数量为$\lfloor \frac{n}{m}\rfloor$， 右边的一部分有$nmodm$块， 每块对应的南墙数量为$\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +1$。

然后我们发现$n,m$范围很小， 可以直接枚举左边一部分分配到的大小， 暴力$check$即可。 当然， 还是需要均分长度的， 按照类似上面的步骤分配即可。 由不等式易证这个面积是单峰的， 所以我们只要$check$到一个位置， 其面积比之前大， 就可以$break$了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define db double
db k1, k2, ans = 1e25;
int up, down, lef, rig, lblk, rblk;
template <class T> IN T sqr(T a) {return a * a;}
IN db calc(R int blk, R int len, db rat)
{
    if(!blk) return 0;
    int llen, rlen, lnum, rnum;
    llen = len / blk, rlen = llen + 1;//类似划分为两个部分
    rnum = len % blk, lnum = blk - rnum;
    return sqr(llen) * rat * lnum + sqr(rlen) * rat * rnum;
}
void solve()
{
    db buf;
    if(!(down % up)) return printf("%.1lf", calc(lef, 100, k1) + calc(lef * lblk, 100, k2)), void();//如果可以除尽直接平均划分就好
    R int bd = 100 - rig * rblk;
    for (R int arr = lblk * lef; arr <= bd; ++arr)
    {
        if(ans > (buf = calc(lef, arr, k1) + calc(rig, 100 - arr, k1) + calc(lblk * lef, arr, k2) + calc(rblk * rig, 100 - arr, k2)))
        ans = buf;
        else break;
    }
    printf("%.1lf", ans);
}
int main(void)
{
    scanf("%lf%lf%d%d", &k1, &k2, &up, &down);
    rig = down % up; lef = up - rig;
    lblk = down / up, rblk = down / up + 1;
    solve();
}