[Luogu P2120] [ZJOI2007]仓库建设

最新推荐文章于 2021-07-11 16:10:06 发布

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#斜率优化 #概率与期望

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斜率优化

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本文通过动态规划与斜率优化解决了一道关于工厂仓库建设的问题。旨在寻找最优方案，以最小化建筑成本与运输成本之和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
工厂i目前已有成品数量Pi;
在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

输出格式：

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

输入输出样例

输入样例#1：

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

输出样例#1：

说明

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为 $10+10=20$ ，运输费用为 $(9-5)\times 3 = 12$ ，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为 $(9-0)\times 5+(9-5)\times 3=57$ ，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， $N ≤500$ ；

对于40%的数据， $N ≤10000$ ；

对于100%的数据， $N ≤1000000$ 。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

解题分析

首先我们考虑使用前缀和来优化复杂度。设每个点上货物数量为 $num[i]$ ，距离山顶为 $dist[i]$ ，建立工厂的费用为 $cost[i]$ ， $cnt[i]=\sum_{j=1}^{i}num[j]$ ， $sum[i]=\sum_{j=1}^{i}num[j]\times dist[j]$ ，那么设 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个点的最优解，转移方程如下：

d p [i] = m a x (d p [j] + (c n t [i] - c n t [j]) \times d i s t [i] - (s u m [i] - s u m [j])) + c o s t [i]

$dp[i]=max(dp[j]+(cnt[i]-cnt[j])\times dist[i]-(sum[i]-sum[j]))+cost[i]$

考虑有一个点 $k$ 满足 $j<k<i$ 且从 $k$ 转移更优，那么：

d p [j] + (c n t [i] - c n t [j]) \times d i s t [i] - (s u m [i] - s u m [j]) + c o s t [i] > d p [k] + (c n t [i] - c n t [k]) \times d i s t [i] - (s u m [i] - s u m [k]) + c o s t [i]

$dp[j]+(cnt[i]-cnt[j])\times dist[i]-(sum[i]-sum[j])+cost[i]>dp[k]+(cnt[i]-cnt[k])\times dist[i]-(sum[i]-sum[k])+cost[i]$

移项后可得：

d i s t [i] > d p [ k ] - d p [ j ] + s u m [ k ] - s u m [ j ] c n t [ k ] - c n t [ j ]

$dist[i]>\frac {dp[k]-dp[j]+sum[k]-sum[j]}{cnt[k]-cnt[j]}$

$dist[i]$ 单增，所以我们可以一波斜率优化…

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define R register
#define gc getchar()
#define IN inline
#define W while
#define MX 1000005
#define ll long long
#define db double
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    W (!isdigit(c)) c = gc;
    W (isdigit(c))
    {x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48; c = gc;}
}
ll cnt[MX], sum[MX], dp[MX], que[MX];
int num, head, tail;
struct Cango
{
    int pos, num, build;
}data[MX];
IN db slope(const ll &x, const ll &y)
{return (db)(dp[x] - dp[y] + sum[x] - sum[y]) / (cnt[x] - cnt[y]);}
int main(void)
{
    in(num);
    for (R int i = 1; i <= num; ++i)
    {
        in(data[i].pos), in(data[i].num), in(data[i].build);
        cnt[i] = data[i].num + cnt[i - 1];
        sum[i] = sum[i - 1] + data[i].num * data[i].pos;
    }
    for (R int i = 1; i <= num; ++i)
    {
        W (head < tail && slope(que[head], que[head + 1]) < data[i].pos) head++;
        dp[i] = dp[que[head]] + data[i].pos * (cnt[i] - cnt[que[head]]) - (sum[i] - sum[que[head]]) + data[i].build;
        W (head < tail && slope(que[tail - 1], que[tail]) > slope(que[tail], i)) tail--;
        que[++tail] = i;
    }
    printf("%lld", dp[num]);
}