[模板][洛谷P1516]青蛙的约会(exgcd)

最新推荐文章于 2022-05-06 11:55:00 发布

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exgcd

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本文介绍了一种解决特定形式的同余方程的方法，即形如X+m*k≡Y+n*k(modL)的方程。通过转换为更常见的ax+by=c的形式，并利用扩展欧几里得算法(exgcd)来寻找解。

题目←

设k步后相遇
题目实际要求

X + m * k \equiv Y + n * k (mod L)

$X + m*k\equiv Y + n*k(\mod L)$
不写成同余方程的话，就是

X + m * k - q * L = Y + n * k - p * L

$X + m*k - q*L = Y + n*k - p*L$
移项

(m - n) * k + L * (p - q) = Y - X

$(m - n)*k + L*(p - q) = Y - X$
m - n –>a，L –>b，Y - X –>c，k –> x，p - q –>y
那么就是熟悉的ax + by = c了
众所周知exgcd解得是ax + by = gcd(a,b)这个方程
所以将c写成gcd(a,b)*t//若不能整除gcd(a,b)，无解
可以先解出ax+by = gcd(a,b)的解和通解，再乘上t即为原方程解

关于通解
在ax+by = gcd(a,b)中，已知一组解x,y
x0 = x + (b/gcd(a,b))*t，y0 = y - (a/gcd(a,b))*t
正负号可颠倒

关于最小正整数解
设m = b/gcd(a,b)，
最小正整数解 X = （x%m + m）%m
//处理取模时出现的负数可用

//负数也可以正常扩欧 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
LL X,Y,N,M,L,x,y,a,b,m,G;
LL Gcd(LL a,LL b){
    return b ? Gcd(b,a%b) : a;
}
void exgcd(LL a,LL b){
    if(!b){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    LL tmp = y;
    y = x - (a/b)*y;
    x = tmp;
}
int main(){
    cin >> X >> Y >> M >> N >> L;
    G = Gcd(M - N,L);
    if((Y - X)%G){
        printf("Impossible");
        return 0;
    }
    LL t = (Y - X)/G;//
    m = L/G;//X0 = X +- (b/gcd); 
    a = (M - N)/G;b = L/G;//!!!(M - N)/t,L/t->t
    exgcd(a,b);
    x *= t;//一组解 
    m = abs(m);//若m为负，相当于 -= m 
    x = (x%m + m)%m;
    cout << x;
}