2017.9.9 图论 — 最小生成树

最新推荐文章于 2017-12-14 13:29:53 发布

LOI_Q

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本文详细介绍了图论中的两种经典最小生成树算法——Kruskal算法与Prim算法。Kruskal算法按边权值排序，逐条检查边是否形成环路；Prim算法则从一个顶点出发，逐步构建最小生成树。文中提供了算法实现代码，帮助读者深入理解这两种算法的工作原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Kruskal： 按照边的权值的顺序从小到大查一遍，若不产生圈（重边等），则把当前边加入生成树中。
O（|E|log|V|）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m;
int fa[10005];

struct bian
{
    int f,t,d;
}e[10005];

int cmp(bian a,bian b)
{
    return a.d<b.d;
}

int find(int x) 
{
    if(fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
//写法2：return fa[x] == x?x:fa[x] = find(fa[x]); 
}
int kru()//通过并查集 
{ 
    int ans=0;
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int fx=e[i].f , fy=e[i].t;
        if(find(fx)!=find(fy)) // ← 能将目前边加上的条件：不在同一个连通分量里 
        //判环：若有环，则环中的点一定一个fa，即在同一个集合中，则这条边不会加入 
        //两个点已经加入过了，所以fa一定出相同，若再加上这条边，就会使这两点之间可以相互到达的路径有两条，也就是说形成了回路
        {
            fa[find(fx)]=find(fy);
            ans+=e[i].d;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    cin>>e[i].f>>e[i].t>>e[i].d;

    printf("%d\n",kru());
    return 0;
}

Prim：

int cost[max_v][max_v];//边e=(u,v)的权值(不存在的情况下设为INF) 
int mincost[max_v];    //从集合x出发的边到每个顶点的最小权值 
bool used[max_v];      //顶点i是否包含在集合x中 
int V;                 //顶点数 


int prim() 
{   
    for(int i=0;i<v;i++)
    {
        mincost[i] = INF;
        used[i] = false; 
    }

    mincost[0] = 0;
    int res = 0;

    while(true)
    {
        int v=-1;
        //从不属于x的顶点中选取从x到其权值最小的顶点 
        for(int u,int u<v;int u++)
        {
            if(!used[u] && (v == -1 || mincost[v]<mincost[v]))
            v = u; 
        }
    }

    if(v == -1) break;
    used[v] = true;     //把顶点v加入x 
    res+ = mincost[v];  //把边的长度加到结果里 

    for(int u=0;u<v;u++)
    {
        mincost[u]=min(mincost[u],cost[v][u]);
    }
    return res;
}