刷题集(5)

#T1325. 【例7.4】 循环比赛日程表

题目描述

设有N个选手进行循环比赛，其中N=2M，要求每名选手要与其他N−1名选手都赛一次，每名选手每天比赛一次，循环赛共进行N−1天，要求每天没有选手轮空。

输入

输入：M(M<=10)

输出

输出：表格形式的比赛安排表。一行各数据间用一个空格隔开。

样例

输入数据 1

3

输出数据 1

1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 3 2 1 8 7 6 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 5 8 7 2 1 4 3
7 8 5 6 3 4 1 2
8 7 6 5 4 3 2 1

来源

一本通在线评测

循环比赛日程表解题思路

问题分析：

这是一个​​分治算法​​的经典应用，需要为N=2^M名选手安排循环赛程，要求：

• 每名选手与其他N-1名选手各比赛一次

• 每天每名选手只比赛一次

• 共进行N-1天比赛

• 输出N×N的日程表（第i行第j列表示第i名选手在第j天的对手）

算法核心：​​分治法​​

采用递归分割的策略，将大问题分解为小问题解决。

具体思路：

1. ​​基础情况​​：当只有2名选手时（M=1）

   • 日程表为：[1, 2]

   • [2, 1]

2. ​​递归分解​​：

   • 将2^M名选手分成两组，每组2^(M-1)人

   • 先为每组内部安排日程（递归解决）

   • 然后安排两组之间的比赛

3. ​​矩阵构造​​：

   • 左上角：第一组的内部日程表

   • 右上角：第二组的内部日程表

   • 左下角：第二组的内部日程表（但选手编号加上2^(M-1)）

   • 右下角：第一组的内部日程表（但选手编号加上2^(M-1)）

4. ​​关键操作​​：

   • 复制左上角矩阵到右下角

   • 复制右上角矩阵到左下角

   • 调整选手编号保持正确匹配

算法步骤：

1. 初始化2×2的基础矩阵
2. 对于M从2开始到目标值：
   a. 将当前矩阵复制到右下角
   b. 将当前矩阵复制到左下角（选手编号+当前规模/2）
   c. 将当前矩阵复制到右上角（选手编号+当前规模/2）
   d. 将当前矩阵复制到左上角（保持不变）
3. 输出最终的N×N矩阵

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(4^M) = O(N²)

• 空间复杂度：O(N²)

示例验证（M=3）：

输出结果与题目样例完全一致，证明算法正确性。

这种分治方法高效地解决了循环赛日程安排问题，保证了所有约束条件的满足。

代码样例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1050][1050];
int main()
{
	int m;
	cin>>m;
	int n=1<<m;
	a[1][1]=1;
	a[1][2]=2;
	a[2][1]=2;
	a[2][2]=1;

	for(int k=2; k<=m; k++)
	{
		int len=1<<(k-1);
		int add=len;

		for(int i=1; i<=len; i++)
		{
			for(int j=1; j<=len; j++)
			{
				a[i+len][j+len]=a[i][j];
			}
		}

		for(int i=1; i<=len; i++)
		{
			for(int j=1; j<=len; j++)
			{
				a[i+len][j]=a[i][j]+add;
			}
		}

		for(int i=1; i<=len; i++)
		{
			for(int j=1; j<=len; j++)
			{
				a[i][j+len]=a[i][j]+add;
			}
		}
	}

	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			cout<<a[i][j];
			if(j<n)
			{
				cout<<" ";
			}
		}

		if(i<n)
		{
			cout<<endl;
		}
	}

	return 0;
}

此代码仅供参考，请勿纯抄