刷题集(6)

#T1326. 【例7.5】 取余运算（mod）

题目描述

输入b，p，kb，p，k的值，求bpmodkbpmodk的值。其中b，p，k×kb，p，k×k为长整型数。

输入

输入b，p，kb，p，k的值。

输出

求bpmodkbpmodk的值。

样例

输入数据 1

2 10 9

输出数据 1

2^10 mod 9=7

来源

一本通在线评测

取余运算（快速幂算法）思路

问题分析：

计算 b^p mod k 的值，其中b、p、k都是长整型数（可能很大），直接计算b^p会溢出，需要使用快速幂算法。

算法核心：快速幂取模

基于分治思想，将指数p进行二进制分解，通过平方取模的方式高效计算。

具体思路：

1. ​​基础公式​​：

   • (a × b) mod k = [(a mod k) × (b mod k)] mod k

   • 利用这个公式可以避免中间结果过大

2. ​​快速幂原理​​：

   • 将指数p表示为二进制形式

   • 例如：p=10(十进制)=1010(二进制)

   • b^10 = b^(8+2) = b^8 × b^2

3. ​​计算步骤​​：

   • 初始化结果res=1

   • 循环处理指数p的每一位：

     • 如果当前位为1：res = (res × b) mod k

     • b = (b × b) mod k （平方）

     • p = p / 2 （右移一位）

4. ​​算法流程​​：

   输入：b, p, k
   输出：b^p mod k
   
   res = 1
   while p > 0:
       如果p是奇数: res = (res * b) % k
       b = (b * b) % k  // 平方
       p = p / 2         // 右移
   返回res

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(logp)，因为每次将p减半

• 空间复杂度：O(1)，只需要几个变量

示例验证（b=2, p=10, k=9）：

p=10(偶数): res=1, b=2, p=5
p=5(奇数): res=2, b=4, p=2
p=2(偶数): res=2, b=7, p=1  (因为4^2=16, 16 mod 9=7)
p=1(奇数): res=5, b=4, p=0  (因为2×7=14, 14 mod 9=5)
最终结果：5 ≠ 7？需要修正

修正：实际上应该是：
p=10: res=1, b=2, p=5
p=5: res=2, b=4, p=2
p=2: res=2, b=7, p=1
p=1: res=5, b=4, p=0
但5≠7，说明理解有误

正确计算：
2^10 = 1024
1024 ÷ 9 = 113 × 9 + 7
所以1024 mod 9 = 7

快速幂正确计算过程：
初始化: res=1, b=2, p=10, k=9

循环1: p=10(偶)
b = (2×2) % 9 = 4
p = 5

循环2: p=5(奇)
res = (1×4) % 9 = 4
b = (4×4) % 9 = 16%9=7
p = 2

循环3: p=2(偶)
b = (7×7) % 9 = 49%9=4
p = 1

循环4: p=1(奇)
res = (4×4) % 9 = 16%9=7
b = (4×4) % 9 = 16%9=7
p = 0

结果：7 ✓

关键点：

• 使用long long类型防止溢出

• 每一步都要取模避免中间结果过大

• 正确处理奇偶情况

这个算法高效且准确，能够处理很大的输入数据。

代码样例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll b,p,k;

ll pow_mod(ll b,ll p,ll k)
{
	ll res=1;
	b%=k;
	while(p)
	{
		if(p&1)
		{
			res=res*b%k;
		}
		b=b*b%k;
		p>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin>>b>>p>>k;
	ll ans=pow_mod(b,p,k);
	cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<ans;
	return 0;
}

此代码仅供参考，请勿纯抄