寒假训练 第一节 时空复杂度分析

算法是由若干条指令所组成的的有穷序列，其中每一条指令表示计算机的一个或多个操作。

一个好的算法首先要具备正确性、可读性和健壮性。在具备这三个条件后，就应该考虑算法的效率问题。即算法的时间效率和空间效率两方面。

时间复杂度

一个算法所需要的运算时间通常与解决问题的规模大小有关。问题规模就是一个和输入有关的量，用n来表示问
题的规模的量，通常把算法运行的时间T表示为n的函数，记作T(n)。不同的算法随着n的变化运算时间也不相同。
当n逐渐增大时T(n)的极限情况，一般称为时间复杂度。
当我们讨论一个程序运行时间时，注重的不是T(n)的具体值，而是它的增长率。T(n)的增长率与算法中数据的
输入规模有关，而数据的输入规模往往用法中的某个变量函数来表示通常我们用f（n）。随着数据输入的增大，
f（n）的增长率与T(n)的增长率接近。因此T(n)和发f（n）在数量级上是一致的记作：

T(n) = O（f（n））

计算时间复杂度
1.忽略常数项。 ( 例1：n¹⁰ +3 ===> n¹⁰)
2.忽略系数。（ 例2：3n¹⁰ ===> 3n¹⁰ ）
3.只保留最高项。 （ 例3：n¹⁰ + n⁹ ===> n¹⁰）

常见的时间复杂度的大小顺序：
从小到大依次是：O(1)<O(log₂n)<O(n)< O(nlog₂n)<O(n²)<O ( n^3 ^) <O(2ⁿ)

例题1：P8780 [蓝桥杯 2022 省 B] 刷题统计

理论上无法得满分

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
		 long long  a,b,n,x= 0,day=1,ans = 0;
	 cin>>a>>b>>n;
	 while(x<n){   
	 	if(day == 6 || day == 7) {
	 		x += b;
	 		ans++;
		}else{
			x+= a;
			ans ++;
		}if(day >7){
			day = 1;
		}
	 	day++;
	 }
	 cout<<ans;

return 0;
}

分析：
根据要求：

对于100%的数据 要求在1-10¹⁸ ，我们考虑最坏的情况：a和b均为1时且 n=10¹⁸；在最坏的情况下无法满足对于100%的数据 要求在1-10¹⁸ 。但是上面的解法依旧能AC，这个题的测试点数据均落在来了1-10⁶。正常来说上面的解法无法取得100分；

正确的写法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
	long long a,b,n,x,num,ans;
	cin>>a>>b>>n; 
//	一个星期的做题量 
	x = 5*a+b*2;
	if(n%x == 0){
		ans = n/x*7;
	}else{
//做了n/x个学期*7=（n/x）星期一个做了多少题 
		ans = n/x*7;
//		剩余的题量  
		n = n -n/x*x;
		for(int i=1;i<=7;i++){
			if(i == 6||i == 7){
				n-=b;
			}else{
				n-=a; 
			}
			if(n<=0){
				ans+=i;
				break;
			}
		}
	}
	cout<<ans;
return 0;
}

例题2：P2249 【深基13.例1】查找

如果直接用暴力for循环来做毋庸置疑一定会超时，根据题目所说：输入 n个不超过 10⁹
的单调不减的非负整数。说明在此我们可以使用二分查找。
如果使用for循环，当 n = 10⁹ 时 时间复杂度为 ：O（n） = 10⁹；总体上会超时；
但是二分查找的时间复杂度为：O（log₂n） 带入 n = 10⁹ 得 log₂10⁹ < 10⁹

空间复杂度

覃神说：绝大多数情况下不会卡，没啥用。
所以这里可以偷懒不写了！！！