【模版】最近公共祖先LCA(倍增)

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最近公共祖先LCA(倍增)

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给定一棵 以 $s$ 为根节点，共有 $n$ 个点的树。
有 $m$ 次查询 任意两点 $u,v$ 的最近公共祖先

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一、前置知识点
1.邻接链表 存图
2.倍增原理 ( $2^n$ 的预处理应用 )
二、算法流程
1.预处理一：
以 $s$ 为根节点进行一遍dfs。
处理出：孩子节点$i$ 的深度($deep[i]$) ： $deep[e[i].to]=deep[x]+1$。
处理出：孩子节点向上跳 $2^0$所到达的点(即为本身)。： $f[e[i].to][0]=x$
$f[i][j]$ 数组表示点 $i$ 向上跳 $2^j$ 所到达的点。
2.预处理二：
对 数组 $f[i][j]$ 进行倍增的递推处理。
当 $j==0$ 时，情况已经在 dfs 中被预处理出来。
考虑当 $j>0$ 时，点 $i$ 向上跳 $2^j$所到达的点，即为 点 $i$ 向上跳 $2^{j-1}$所到达的点 再向上跳 $2^{j-1}$所到达的点。 因为 $2^{j-1}+2^{j-1}=2^j$。
所以外层枚举 $j$ ，内层枚举点 $i$ 。
易得状态转移方程 $f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]$
3.查询：
对于要查询的点 $u,v$ ，先按深度取深度较深的点，设为点 $v$ 。
首先算出两点的深度差，设为 $d$ 。
枚举 次幂 $i$ 将点 $v$ 向上跳至 与 $v$ 同深度。
若此时 $u,v$ 相等，则返回 $u$ 。
否则 次幂 从高次 向 低次枚举 $i$ 。若 $u,v$ 向上跳 $2^i$ 所到达的点不相同，则向上跳，然后继续枚举，直到次幂变为0。

三、例题
最近公共祖先LCA模版
货车运输

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m,s,depth;
int head[1010100],deep[1010100];
int f[505050][21];
struct next_list
{
	int to,nxt;
}e[1010100];
void add_edge(int u, int v)
{
	e[++head[0]].to = v;
	e[head[0]].nxt = head[u];
	head[u] = head[0];
}
void dfs(int x)
{
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
	{
		if(deep[e[i].to])	continue;
		f[e[i].to][0] = x;
		deep[e[i].to] = deep[x]+1;
		dfs(e[i].to);
	} 
}

int query_lca(int u, int v)
{
	if(deep[u] > deep[v])	swap(u,v);
	int d = deep[v] - deep[u];
	for(int i = 0; i <= depth; i++)	if(d & (1<<i))	v = f[v][i];
	if(u == v)	return v;
	for(int i = depth; i >= 0; i--)	if(f[v][i] != f[u][i])	v = f[v][i], u = f[u][i];
	return f[v][0];
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	depth = log(n) / log(2) + 1;
	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add_edge(u,v), add_edge(v,u); 
	}
	deep[s] = 1;
	dfs(s);
	for(int j = 1; j <= depth; j++)
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%d\n",query_lca(u,v));
	}
	return 0;
}