最优合并问题

最优合并问题

     给定k个排好序的序列s1,s2,…,sk,用2路合并算法将这k个序列合并成一个序列。假设所采用的2路合并算法合并两个长度分别为m和n的序列需要m+n-1次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序,使所需要的总比较次数最少。

测试用例:

4(序列数)

5 1211 2(序列中的元素数)

输出:

    78(最差情况)

    52(最优情况)


解:

最优合并问题:
当取最小值保证每次的2个加数为最小便可,最大值同理取当前最大的两个值便可
请看下面序列
3,6,5,12,7
如果排好序之后依次按照,找最小连个数进行相加
排好序之后3,5,6,7,12
最小值3+5 = 8   8,6,7,12 按照排序的思路此时不能保证当前数组中前两位是最小值,所以还要排序
6,7,8,12    6+7 = 13     -->13,8,12
继续排序
最后按照题意m和n的序列需要m+n-1 次比较
所以在比较中每次减一。 
这样便求出了最小值


#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int cmp(int a,int b)
{
	return a>b;
}

int minsum(int a[],int m)
{
	int b[n];
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		b[i]=a[i];
	}
	while(m>1)
	{
		sort(b,b+m);
		b[0]=b[0]+b[1];
		sum+=b[0];
		for(int i=1;i<m-1;i++)
		{
			b[i]=b[i+1];
		}
		m--;
	}
	return sum-n+1;
} 


int maxsum(int a[],int m)
{
	int b[n];
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		b[i]=a[i];
	}
	while(m>1)
	{
		sort(b,b+m,cmp);
		b[0]=b[0]+b[1];
		sum+=b[0];
		for(int i=1;i<m-1;i++)
		{
			b[i]=b[i+1];
		}
		m--;
	}
	return sum-n+1;	
} 

int main()
{
	
	int a[100];
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	
	printf("min:%d\n",minsum(a,n));
	printf("max:%d\n",maxsum(a,n));
}




### Python 实现最优合并问题 最优合并问题是典型的贪心算法应用之一。其核心思想在于每次选取两个最小的序列进行合并,从而减少总的比较次数[^1]。 以下是基于优先队列(堆)来实现最优合并问题的最佳算法: #### 使用 `heapq` 模块实现最优合并 Python 的标准库提供了 `heapq` 模块,可以方便地构建一个小顶堆用于处理此类问题。具体实现如下: ```python import heapq def optimal_merge_cost(sequence_lengths): # 如果只有一个序列,则无需合并 if len(sequence_lengths) == 1: return 0 heap = sequence_lengths[:] heapq.heapify(heap) # 将列表转化为小顶堆 total_cost = 0 while len(heap) > 1: # 取出两个最小的序列长度 first_min = heapq.heappop(heap) second_min = heapq.heappop(heap) # 计算它们的合并本并加入到总本中 merge_cost = first_min + second_min total_cost += merge_cost # 将新生序列重新放入堆中 heapq.heappush(heap, merge_cost) return total_cost # 示例测试 sequence_lengths = list(map(int, input("请输入各序列长度(用空格分隔):").split())) min_total_cost = optimal_merge_cost(sequence_lengths) print(f"最少比较次数为: {min_total_cost}") ``` 上述代码实现了最优合并过程中的最低比较次数计算方法。它利用了贪心策略,在每一步都选择当前最短的两个序列进行合并,最终达到整体最优效果[^3]。 --- #### 解决最差合并问题 对于最差合并问题,目标是最大化总的比较次数。可以通过每次都挑选最长的两个序列进行合并来实现这一点。由于这种情况下不涉及动态调整顺的需求,因此可以直接模拟这一过程: ```python def worst_merge_cost(sequence_lengths): if len(sequence_lengths) == 1: return 0 sequence_lengths.sort(reverse=True) # 对序列按降排列 total_cost = 0 while len(sequence_lengths) > 1: # 取出最大的两个序列长度 first_max = sequence_lengths.pop(0) second_max = sequence_lengths.pop(0) # 合并这两个序列本 merge_cost = first_max + second_max total_cost += merge_cost # 将新的合并后的序列放回集合,并保持有 inserted = False for i in range(len(sequence_lengths)): if merge_cost >= sequence_lengths[i]: sequence_lengths.insert(i, merge_cost) inserted = True break if not inserted: sequence_lengths.append(merge_cost) return total_cost # 示例测试 sequence_lengths = list(map(int, input("请输入各序列长度(用空格分隔):").split())) max_total_cost = worst_merge_cost(sequence_lengths) print(f"最多比较次数为: {max_total_cost}") ``` 此部分代码展示了如何通过反向操作最大化总的比较次数。 --- ### 结果对比分析 两种方法分别代表了最优和最劣情况下的合并方式。实际应用场景通常追求的是前者——即尽可能降低资源消耗或时间复杂度。而后者则更多作为理论研究的一部分存在,帮助理解极端条件下的行为特性[^2]。
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