巧作辅助线

最新推荐文章于 2022-11-03 16:09:24 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-03 16:09:24 发布 · 341 阅读

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本文详细解析了在梯形ABCD中，通过向量分解的方法求解特定条件下λ与μ的值，展示了如何利用几何性质将AB向量表示为AM与AN向量的线性组合。

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在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D, A B = 2 C D, M, N$ 分别是 $C D, B C$ 的中点，若 $AB→=λAM→+μAN→\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{AN}$ ，则 $λ+μ=\lambda+\mu=$ ___________。

【解析】
在这里插入图片描述
如图，延长 $M N$ 交 $A B$ 的延长线与点 $E$ ，则有 $△MNC≅△ENB\triangle MNC \cong \triangle ENB$ 则 $BEAE=14⇒AB→=45AE→\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AE}$ 由 $M ， N ， E$ 三点共线得： $AN→=12AM→+12AE→\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$ 综合两式得： $AB→=−45AM→+85AN→\overrightarrow{AB}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AM}+\dfrac{8}{5}\overrightarrow{AN}$ 则 $λ+μ=45.\lambda+\mu=\dfrac{4}{5}.$