CodeForces - 468D Tree

最新推荐文章于 2024-07-17 21:33:18 发布

原创最新推荐文章于 2024-07-17 21:33:18 发布 · 241 阅读

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本文深入探讨了在树形结构上使用重心分解和动态规划技术解决特定问题的方法。通过数学推导，详细解释了如何优化计算过程，以减少树上点对之间的距离之和。此外，还提供了一个完整的C++代码实现，展示了算法的具体应用。

先推一下第一个答案的公式：

$a n s = Σ d e p [i] + d e p [p [i]] - 2 * d e p [l c a (i, p [i])]$
$= (2 * Σ d e p [i]) - 2 * Σ d e p [l c a (i, p [i])]$

所以我们要使 $l c a$ 的 $d e p$ 尽量小。

然后我们说说为什么要选取重心作为根，为什么后面这一坨可以取0。

~~感性证明一波。~~ 我们知道，如果以重心作为根有一个性质： $\lfloor{n/2} \rfloor$ ，其中i为子树。（~~好像是？？~~ ）

那我们选取一个siz最大的子树来分类讨论。

$s i z = = n / 2 (n 为奇)$ 我们将剩余子树内节点依次与此子树配对（这肯定能保证是排列），剩一个再和根配对就行了。
$s i z = = n / 2 (n 为偶)$ 我们恰好将各个子树配对，最后根节点和自己在一起~~~
$s i z < n / 2$ 我们随便各个子树配对，最后总能转化成前面的情况。

~~bibi了半天感觉并没有什么用。~~

然后我们发现其实每个点会出现两次。（分别在 $i$ 和 $p i$ 中）定义在 $i$ 中的为 $o u t$ ，在 $p i$ 中为 $i n$ 。

设子树 $i$ 中有 $i n [i]$ 个未匹配的入点， $o u t [i]$ 个未匹配出点。

根据定义得， $o u t [i] < = (Σ i n [j]) - i n [i]$

$i n [i] + o u t [i] < = Σ i n [j]$

我们又知道 $Σ i n [i] = = Σ o u t [i] = = n - j + 1$ （ $j$ 从1到n遍历取出点的第 $j$ 个点）

所以原式化为： $i n [i] + o u t [i] < = n - j + 1$

women知道，每个独立子树是不能有在一起的（~~好凄情的故事~~ ）。于是 $i n [i] + o u t [i]$ 被赋予了别样的含义：代表着还要匹配多少对。如果有 $i n [i] + o u t [i] = = n - j + 1$ ，这就意味着第j个点要么是第 $i$ 棵子树中的点，要么与第 $i$ 棵子树中的点在一起。其余的就选最小的就行了。

最后的话：上述情况有些并不包括根，根需要另外安排。

#include<set>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef pair <int, int> Pair;

const int N = 1e5 + 2;
long long ans, dis[N];
int res[N], be[N], num[N], val[N << 1], block, n, head[N], dot[N << 1], nxt[N << 1], cnt, maxx[N], siz[N], root;
set <int> s[N];
set <Pair> a, b;

void addEdge(const int u, const int v, const int w) {
	dot[++ cnt] = v;
	nxt[cnt] = head[u];
	val[cnt] = w;
	head[u] = cnt;
}

void makeRoot(const int x, const int ba) {
	siz[x] = 1;
	for(int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
		int v = dot[i];
		if(v == ba) continue;
		makeRoot(v, x);
		siz[x] += siz[v];
		maxx[x] = max(maxx[x], siz[v]);
	}
	maxx[x] = max(maxx[x], n - siz[x]);
	if(maxx[root] > maxx[x]) root = x;
}

void init(const int x, const int ba, const int blo) {
	if(blo) be[x] = blo, s[blo].insert(x);
	ans += (dis[x] << 1);
	for(int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
		int v = dot[i];
		if(v == ba) continue;
		dis[v] = dis[x] + val[i];
		if(blo) init(v, x, blo);
		else init(v, x, ++ block);
	} 
}

void link(const int x, const int y) {
	int tmp = *s[y].begin();
	b.erase(Pair(num[be[x]], be[x])); b.erase(Pair(num[y], y));
	a.erase(Pair(tmp, y));
	res[x] = tmp;
	s[y].erase(tmp);
	if(! s[y].empty()) a.insert(Pair(*s[y].begin(), y));
	-- num[be[x]]; -- num[y];
	b.insert(Pair(num[be[x]], be[x])); b.insert(Pair(num[y], y));
}

int main() {
	int u, v, w;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		addEdge(u, v, w);
		addEdge(v, u, w);
	}
	maxx[0] = n;
	makeRoot(1, 0);
	init(root, 0, 0);
	s[0].insert(root);
	for(int i = 0; i <= block; ++ i) {
		a.insert(Pair(*s[i].begin(), i));
		num[i] = (int(s[i].size()) << 1);
		b.insert(Pair(num[i], i));
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		if(b.rbegin() -> first == n - i + 1 && b.rbegin() -> second != be[i] && b.rbegin() -> second != 0) link(i, b.rbegin() -> second);
		else {
			set <Pair>::iterator it = a.begin();
			if(i != root && it -> second == be[i]) ++ it;
			link(i, it -> second);
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d%c", res[i], (i == n ? '\n' : ' '));
	return 0;
}