关于算法的时间复杂度和空间复杂度的总结

一、算法的概念

  算法（Algorithm）是将一组输入转化为一组输出的一系列计算步骤，其中每个步骤必须能在有限时间内完成。算法是用来解决一类计算问题的，注意是一类问题，而不是一个特定的问题。

二、算法的复杂度

  算法的复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。

三、算法的时间复杂度

  解决同一个问题可以有很多种算法，比较评价算法的好坏，一个重要的标准就是算法的时间复杂度。    

   时间复杂度的定义：表示总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，也就是T(n)随着n的变化，用一个函数表示为

                                        T(n) = O(f(n))

  一般随着n的增长，T(n)也会增长。则T(n)增长最慢就是时间性能最优的算法。

  时间复杂度常见的表示法【大O表示法，如O(1)、O(n)......就是用的大O表示法】如下：

 

  大O阶【如O(n)的阶为n,是线性阶】的推导方法：                                                                

   1.用常数1取代运行中的所有加法常数； 

     2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；    

     3.如果最高阶存在，且不是1，则除去常数项，所得的结果就是大O阶。      

  最常见的时间算法复杂度关系为(n >= 16时)：    

  O(1) < O(log2^n) < O(n) < O(nlog2^n) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n)       

  举个例子来说明算法的时间复杂度：

i = 1;
while(i < n)
    i = i * 2;

  分析：当程序运行到i>=n时，程序退出循环，如果循环了f(n)次，则有2^f(n) = n，即f(n) = log2^n，执行次数为log2^n + 1，消除常数项，保留最高阶，得到T(n)=O(logn)，为对数阶。

四、算法的空间复杂度

  空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

五、算法的时间复杂度和空间复杂度的关系

  对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。另外，算法的所有性能之间都存在着或多或少的相互影响。因此，当设计一个算法(特别是大型算法)时，要综合考虑算法的各项性能，算法的使用频率，算法处理的数据量的大小，算法描述语言的特性，算法运行的机器系统环境等各方面因素，才能够设计出比较好的算法。