【快速幂算法】 详解示例使用

快速幂 I 

题目描述

给定两个非负整数a和b，求ab。

注：使用快速幂实现。

输入描述

两个整数a、b（2≤a≤5、0≤b≤10）。

输出描述

输出a^b。

样例

输入

2 3

输出

8

时间复杂度

使用pow函数计算幂，时间复杂度为O(n), 而且它返回的是 double 类型，而 double 类型在存储较大整数时可能会出现精度问题，导致结果不准确 。

快速幂算法

时间复杂度为O(log n)

 题解：迭代（循环版）快速幂

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fastPow(int base, int power){
	int result = 1;
	while(power > 0){
		if(power % 2 == 1){
			result *= base;
		}
		power /= 2;
		base *= base;
	}
	return result;
}
int main(){
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout<<fastPow(a, b);
}

题解：递归快速幂

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long fastPow(int base, int exp) {
    if (exp == 0) return 1;
    long long half = fastPow(base, exp / 2);
    return (exp % 2 == 0) ? half * half : half * half * base;
}
int main(){
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout<<fastPow(a, b);
}

递归版快速幂

int fastPow(int base, int power) {
    if (power == 0) return 1; // 任何数的 0 次方都是 1
    int half = fastPow(base, power / 2);
    if (power % 2 == 0) {
        return half * half;  // 偶数次方
    } else {
        return half * half * base; // 奇数次方
    }
}

迭代版快速幂

int fastPow(int base, int power) {
    int result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power % 2 == 1) { // 当 power 是奇数时，把当前 base 乘到 result
            result *= base;
        }
        power /= 2; // 指数右移
        base *= base; // 基数平方
    }
    return result;
}

位运算版本

int fastPow(int base, int power) {
    int result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power & 1) { // 判断 power 的最低位是否为 1（即 power 是奇数）
            result *= base;
        }
        power >>= 1;  // 右移 1 位，相当于除以 2
        base *= base;  // 基数平方
    }
    return result;
}

 快速幂 II

题目描述

给定三个整数a、b、m，求a^b mod m。

输入描述

三个整数a、b、m（2≤a≤10^3、0≤b≤10^7、2≤m≤10^5）。

输出描述

输出a^b mod m。

样例1

输入

2 3 5

输出

3

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL fastPow(LL base, LL power, LL m){
	LL result = 1;
	while(power > 0){
		if(power % 2 == 1){
			result = result * base % m;
		}
		power /= 2;
		base = base * base % m;
	}
	return result % m;
}
int main(){
	LL a, b, m;
	cin >> a >> b >> m;
	cout<<fastPow(a, b, m);
}