算法复习笔记(分治法、动态规划、贪心算法)

最新推荐文章于 2025-09-03 17:09:01 发布

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#贪心算法 #动态规划 #分治法

本文详细介绍了分治法、动态规划和贪心算法的原理及应用。分治法通过分解问题，将子问题独立解决后再合并。动态规划利用最优子结构、无后效性和重叠子问题特性，避免重复计算。贪心算法通过局部最优选择达到全局最优解，适用于具有最优子结构和贪心选择性质的问题。文章中分别以逆序对计数、01背包问题和活动安排问题为例，阐述三种算法的应用。

分治法
动态规划
贪心算法

分治法

　　分治法的基本思想是将一个规模为ｎ的问题分解为ｋ个规模较小的问题，这些子问题互相独立且与原问题相同（所以可以递归）。递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。它的一般算法设计模式如下：

divide-and-conquer(P)
{
//|P|表示问题的规模，n0表示阈值，当规模不超过n0时，问题容易解出，不必分解
    if(|P|<=n0)   
        adhoc(P);
    //将P分解成子问题
    divide P into smaller subinstances P1,P2...Pk;
    //对子问题逐个求解
    for(i=0;i<=k;i++)
        yi=divide-and-conquer(Pi);
    //将各个子问题的解合并得到原问题的解 
    return merge(y1,y2,...,yk)；
}

　　分治法的示例有很多，比如数据结构中的二路归并排序。还有大整数乘法，Strassen矩阵乘法等。这边我们解释一个简单的实例，寻找逆序对。
　　设A[1…n]是一个包含n个不同数的数组。如果在i小于j的情况下，有A[i]大于A[j]，则(i,j)就成为A中的一个逆序对(inversion)。
　　要确定一个数组中的逆序对的个数，可以采取分治法。将A分为两部分A1和A2，则A中逆序对的数目等于A1中逆序对的数目、A2中逆序对的数目和A1，A2合并时A1中比A2中元素大的数目。
　　代码如下所示：

#define Maxsize 4
#include <IOSTREAM>
using namespace std;

int number[Maxsize]={
  
  8,3,4,1};

int Merge(int start,int mid,int end)
{
    int count=0;
    int temp[Maxsize];
    int i,j,k=0;
    i=start;
    j=mid+1;
    while (i<=mid&&j<=end)
    {
        if (number[i]>number[j])
        {
            count=count+mid-i+1;  //这句话是重点
            temp[k]=number[j];
            j++;
        }
        else
        {
            temp[k]=number[i];
            i++;
        }
        k++;
    }
    if(i<=mid)
    {
        for(;i<=mid;i++)
        {  
            temp[k]=number[i];  
            k++;  
        }
    }
    if(j<=end)
    {
        for(;j<=end;j++)
        {  
            temp[k]=number[j];  
            k++;  
        }
    }
    for(k=