Josephus 问题（2）

C-learning

已于 2022-06-19 16:12:00 修改

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构

于 2020-12-14 16:06:06 首次发布

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本文详细分析了一个环形报数游戏中最后留下的编号规律，并提供了C语言实现。通过观察发现，编号以2的幂次方为周期，结合数学公式计算出经历的轮数和在轮中的位置，最终得出结果。算法时间复杂度为O(1)，空间复杂度也为O(1)，展示了数学在编程中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

N人围成一个环，每个人一个编号1—n,然后1、2报数，报2出局，其余人继续，直至最后一人。求该人的编号。有时间限制

二、分析
找规律： 我直接写出了n从1—17的最终答案，分别为：1、1、3、1、3、5、7、1、3、5、7、9、11、13、15、1…发现其是以2的幂次方为一个轮回，然后奇数增长。
分开更容易看清：
第一轮：1
第二轮：1、3
第三轮：1、3、5、7
第四轮：1、3、5、7、9、11、13、15
…
个数刚好为1、2、4、8…
编写代码思路：首先我们要确定所给的数n是经历了几轮这样的循环，然后再确定是这一轮的哪个位置即可算出结果。
这里我们设为x轮，则有
在这里插入图片描述
这里c为一个变量。我们把所给数n放在第x+1轮，其前面总有x轮(x>=0)。
①求x:
因为有2^x-1+c=n，两边取对数：x=log2（n)-log2(c-1);
由于为整数，所以x=log2(n)向下取整即可（代码中已经自动实现向下取整，故不必考虑）。
c语言编程实现，可以使用log()函数。不过log()函数以10为底的，我们可以利用对数函数的换底公式。
于是则有：log2(n)=log10(n)除以log10(2)。
代码实现为： x = log(n)/log(2);

在求出经历x轮后,还得求出是第x+1轮的哪个位置。这里设为num,
②求num：
因为有2^x+num=n,故num=n-2 ^x。

③算出结果y
根据1,3,5,7……这样的规律
y=2*num+1。

三、算法实现

int main()
{
    long long n,x,y,num;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        x = log(n)/log(2);//计算出经历的轮数。
        num=n-pow(2,x);//所在的轮数的第num位上
        y=2*num+1;//求最终值。
        printf("%lld\n",y);
    }

    return 0;
}