整数规划-分支定界法

分支定界法由来

谨以此博客作为学习期间的记录

在生活中，整数规划(IP)或者混合整数规划(MIP)往往要比单纯的线性规划(LP)应用更为广泛。生产计划、库存规划等，都有着变量或部分变量为整数的要求。那么对于这些特殊限制（变量为整数），该如何高效求解呢？

在某些特定的条件下，线性规划的最优解为整数解，如下：
$$\begin{array}{rl}min& {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}\\ s.t.& \{\begin{array}{l}\mathbf{Ax}\ge \mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge 0\end{array}\end{array}$$
其中，

• $\mathbf{c}$ 是包含目标函数系数的列向量；
• $\mathbf{x}$是决策变量的列向量；
• $\mathbf{A}$是包含约束条件系数的矩阵；
• $\mathbf{b}$是包含约束条件右侧常数的列向量。

在上面的问题中，如果$A$为幺模矩阵，那么即使不限定x为整数，最终得出的最优解也一定为整数解。
链接: 幺模矩阵-整数解特性
但是在大部分的规划问题中，A都并不满足幺模矩阵，单纯形法可以解决线性规划，但是并不能保证所得出的最优解为整数解，因此就需要一种单独针对整数变量求解的方法。
链接: 单纯形法原理

分支定界法原理

以一个实例介绍分支定界法的流程，实例参考《运筹优化常用模型、算法及案例实战——Python+Java实现》
$$\begin{array}{rl}max& z=100x_1+150x_2\\ s.t.& \{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 10\\ 3x_1+6x_2\le 40\\ x_1,x_2\ge 0\\ \mathbf{x}\in {\mathbb{Z}}^n\text{(整数限制)}\end{array}\end{array}$$
可行域绘制如下:

首先忽略$x$为整数的限制,直接使用单纯形法进行求解。
子问题1：
$$\begin{array}{rl}max& z=100x_1+150x_2\\ s.t.& \{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 10\\ 3x_1+6x_2\le 40\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}\end{array}$$
最终解得到

Optimal Objective Value: 1055.5555555555554
x1 = 2.222
x2 = 5.556

将其向下取证，可以得到一个整数解

Optimal Objective Value: 950
x1 = 2
x2 = 5

那么根据求解结果，可以得到结论:最终的目标函数最优值将会介于[950,1055.56）之间。因为在max问题中，即使去掉了整数限制得到的最优值也只有1055.56，如果添加约束最优值只会更低，所以1055.56为目标函数值上界。而目前我们得到整数可行解的目标函数值为950，如果后续求到的解质量非常差，我们也可以把950当为问题的最优解，如果后续有更高质量的解，我们可以将更高质量的解作为最优解。根据当前解得情况，得到根节点。