【笔记整理】通信原理第九章复习——循环码

9.5 循环码

9.5.1 循环码的概念

循环性是指任意码组循环移位后仍然是该编码中的一个码组
多项式表示法
一般情况
若$(a_{n-1}{a}_{n-2}...a_0)$是循环码的一个码组，则循环移位后的码组：
$$(a_{n-2}{a}_{n-3}...a_0{a}_{n-1})$$
$$(a_{n-3}{a}_{n-4}...a_{n-1}{a}_{n-2})$$
… …
$$(a_0{a}_{n-1}...a_2{a}_1)$$仍然是该编码中的码组

• 多项式表示法
  一个长度为$n$的码组$(a_{n-1}{a}_{n-2}...a_0)$可以表示成
  $$T(x)=a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_{1}x+a_0$$
  $x$的值没有任何意义，仅用它的幂代表 码元的位置
  【例】码组1100101可以表示为
  $$T(x)=1\cdot x^6+1\cdot x^5+0\cdot x^4+0\cdot x^3+1\cdot x^2+0\cdot x+1=x^6+x^5+x^2+1$$

9.5.2 循环码的运算

9.5.2.1 整数的按模运算

在整数运算中，有模$n$运算。
若一个整数$m$可以表示为
$$\frac{m}{n}=Q+\frac{p}{n}$$
式中，$Q$为整数，则在模$n$运算下，有
$$m\equiv p(\text{模}n)$$
在模$n$运算下，一个整数$m$等于它被$n$除得所得的余数

9.5.2.2 码多项式的按模运算

若任意一个多项式$F(x)$被一个$n$次多项式$N(x)$除，得到商式$Q(x)$和一个次数小于$n$的余式$R(x)$，即
$$F(x)=N(x)Q(x)+R(x)$$
则在按模$N(x)$运算下，有
$$F(x)\equiv R(x)(\text{模}N(x))$$
【例】$x^3$被$(x^3+1)$除，得到余项即
$$x^3\equiv 1(\text{模}(x^3+1))$$
【例】$x^4+x^2+1\equiv x^2+x+1(\text{模}(x^3+1))$

9.5.2.3 循环码的数学表示法

【定理】在循环码中，设$T(x)$是一个长度为$n$的码组，若
$$x^i\cdot T(x)\equiv T’(x)$$
则$T’(x)$也是该编码中的一个码组
【例】一循环码为1100101，即
$$T(x)=x^6+x^5+x^2+1$$
若给定$i=3$，则有
$$x^3\cdot T(x)=x^9+x^8+x^5+x^3\equiv x^5+x^3+x^2+x(\text{模}(x^7+1))$$
上式对应的码组为0101110，它正是$T(x)$向左移3位的结果
【结论】一个长为$n$的循环码必定为按$(x^n+1)$运算的一个余式

9.5.2.4 循环码的生成

有了生成矩阵$G$，就可以由$k$个信息位得出整个码组：
【例】$A=[a_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0]=[a_6{a}_5{a}_4{a}_3]G$
$$G=[I_{k}Q]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& |& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& |& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& |& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& |& 0& 1& 1\end{array}\right]$$
生成矩阵$G$的每一行都是一个码组

• 若能找到$k$个已知码组，就能构成矩阵$G$。如前所述，这$k$个已知码组必须是线性不相关的

• 在循环码中，一个$(n,k)$码有$2^k$个不同的码组。若用$g(x)$表示其中前$(k-1)$位皆为“0”的码组，则$g(x),xg(x),x^{2}g(x),...,x^{k-1}g(x)$都是码组，而且这$k$个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵$G$

• 在循环码中除全“0”码组外，再没有连续$k$均为“0”的码组，即连0的长度最多只能有$k-1$位。否则，在经过若干次循环移位后将得到$k$位信息位全“0”，但监督位不全位“0”的一个码组。这在线性码中显然是不可能的

• $g(x)$必须是一个常数项不为“0”的$(n-k)$次多项式，而且这个$g(x)$还是这种$(n,k)$码中次数为$(n-k)$的惟一一个多项式

  • 因为如果有两个，则由码的封闭性，把这两个相加也应该是一个码组，且此码组多项式的次数将小于$(n-k)$，即连续“0”的个数多于$(k-1)$。显然，这时与前面的结论矛盾的

• 称这唯一的$(n-k)$次多项式$g(x)$为码的生成多项式

• 一旦确定了$g(x)$，则整个$(n,k)$循环码就被确定

• 循环码的生成矩阵$G$可以写成
  $$G(x)=\left[\begin{array}{c}{x}^{k-1}g(x)\\ x^{k-2}g(x)\\ ...\\ xg(x)\\ g(x)\end{array}\right]$$

• $g(x)$为码的生成多项式

  • 常数项不为“0”的$(n-k)=r$次多项式

  • 前面$(k-1)$个“0”
    【例】一个$(7,3)$循环码，$n=7,k=3,n-k=4$，其中唯一的一个$(n-k)=4$次码多项式代表的码组式第二码组0010111，与它对应的码多项式，即生成多项式，为
    $$g(x)=x^4+x^2+x+1$$
    将此$g(x)$代入矩阵，得到
    $$G(x)=\left[\begin{array}{c}{x}^{2}g(x)\\ xg(x)\\ g(x)\end{array}\right]$$或$$G=\left[\begin{array}{c}1011100\\ 0101110\\ 0010111\end{array}\right]$$
    循环码的生成多项式对应码组的重量就是该循环码的$d_0$
    若不符合$G=[I_{k}Q]$形式，则不是典型生成矩阵。需要经过线性变换，得到典型阵

• 循环码组的多项式表示时$T(x)$
  $$T(x)=[a_6{a}_5{a}_4]G(x)=[a_6{a}_5{a}_4]\left[\begin{array}{c}{x}^{2}g(x)\\ xg(x)\\ g(x)\end{array}\right]=a_6{x}^{2}g(x)+a_{5}xg(x)+a_{4}g(x)$$
  所有码多项式$T(x)$都能够被$g(x)$整除，而且在任意一个次数不大于$(k-1)$的多项式乘$g(x)$都是码多项式

9.2.5.5 寻求码生成多项式

因为任意一个循环码$T(x)$都是$g(x)$的倍式，故它可以写成
$$T(x)=h(x)\cdot g(x)$$
而生成多项式$g(x)$本身也是一个码组，即有
$$T’(x)=g(x)$$
由于码组$T’(x)$是一个$(n-k)$次多项式，故$x^{k}T’(x)$是一个$n$次多项式。由
$$x^i\cdot T(x)\equiv T’(s)$$
可知，$x^{k}T’(x)$在模$x^n+1$运算下也是一个码组，所以有
$$\frac{x^{k}T’(x)}{x^n+1}=Q(x)+\frac{T(x)}{x^n+1}$$
上式左端分子和分母都是$n$次多项式，故相除的商$Q(x)=1$。因此可以写成
$$x^{k}T’(x)=(x^n+1)+T(x)$$
将$T(x)=h(x)\cdot g(x)$和$T’(x)=g(x)$代入得到
$$x^n+1=g(x)[x^k+h(x)]$$
生成多项式$g(x)$应该是$(x^n+1)$的一个因子

9.5.3 循环码的编码方法

• 根据给定的$(n,k)$值选定生成多项式$g(x)$，即从$(x^n+1)$的因式中选一$(n-k)$次多项式作为$g(x)$
• 设待编码的$k$位信息多项式为$m(x)$，用$x^{n-k}$乘$m(x)$：这一运算实际上是在信息码后附加上$(n-k)$个”0”
• 用$g(x)$除$x_{n-k}m(k)$，得到商$Q(x)$和余式$r(x)$，既有
  $$\frac{x_{n-k}m(x)}{g(x)}=Q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$$
  【例】信息码为110，若选定$g(x)=x^4+x^2+x+1$，则有（多项式长除）
  多项式为$m(x)=x^2+x$。当$n-k=7-3=4$时，$x_{n-k}m(x)=x^4(x^2+x)=x^6+x^5$，它表示码组1100000
  $$\frac{x^{n-k}m(x)}{g(x)}=\frac{x^6+x^5}{x^4+x^2+x+1}=(x^2+x+1+\frac{x^2+1}{x^4+x^2+x+1})$$
  等效：
  $$\frac{1100000}{10111}=111+\frac{101}{10111}$$
  整理得
  $$Q(x)g(x)=x^{n-k}m(x)+r(x)=T(x)$$
  $$T(x)=x^{n-k}m(x)+r(x)=1100000+101=1100101$$
• 电路：$(7,4)$码的编码器包含四级移存器，分别用$a$、$b$、$c$、$d$表示，一个双刀双掷开关$S$。当信息位输入时，开关向下，输入信码一方面送入除法器进行运算，另一方面直接输出。输入$k$为信息全部进入除法器后，开关转向上，此时输出端接到移存器，将移存器中存储的除法余项依次取出，同时切断反馈线，并从左到右逐次清零

9.5.4 循环码的解码方法

• 在检错时：当接受码组没有错码时，接收码组$R(x)$必定能被$g(x)$整除即
  $$\frac{R(x)}{g(x)}=Q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$$
  中余项$r(x)$应为零；否则，有误码
• 在纠错时：
  • 用生成多项式$g(x)$除接收码组$R(x)$，得出余式$r(x)$
  • 按照余式$r(x)$，用查表的方法或计算方法得出错误图样$E(x)$
  • 从$R(x)$中减去$E(x)$，便得到已纠正错码的原发送码组$T(x)$