【笔记整理】通信原理第九章复习——线性分组码

9.4 线性分组码

9.4.1 基本概念

• 代数码：利用代数关系式产生监督位的编码
• 线性分组码：代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定
• 汉明码：一种能够纠正一个错码的线性分组码（纠1位错，至少3个码元）
• 校正子：在偶数监督码中，计算$a_{n-1}\oplus a_{n-2}\oplus ...\oplus a_0=0$，实际上就是计算$S=a_{n-1}\oplus a_{n-2}\oplus ...\oplus a_0$，并检验$S$是否等于0。$S$称为校正子
• 监督关系式：$S=a_{n-1}\oplus a_{n-2}\oplus ...\oplus a_0$称为监督关系式

9.4.2 纠错基本原理

$S=a_{n-1}\oplus a_{n-2}\oplus ...\oplus a_0$中。$S$只有两种取值：表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置
若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样就能得到两个校正子
两个校正子的可能取值有4种组合，即00，01，10，11，能表示4种不同的信息
若用其中一种组合表示无错码，则其他3种组合可以用于指明一位错码的3种不同位置，从而可以有纠错能力

• 一般而言，若有$r$个监督关系式，则$r$个校正子可以指明一个错码的$(2^r-1)$个不同位置

当校正子可以指明的错码位数目等于或大于码组长度$n$时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求
$$2^r-1\ge n$$或$$2^r\ge k+r+1$$

• 汉明码：一种能够纠正一个错码的线性分组码

【填空题】要求设计一个能够纠正1个错码的分组码$(n,k)$，设给定的码组中有4个信息位，即$k=4$，求$n$的值
解：由$2^r-1\ge n$或$2^r\ge r+k+1$知，这时要求监督位数$r\ge 3$
若取$r=3$，则$n=k+r=7$
现在用$a_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0$表示这7个码元，用$S_1{S}_2{S}_3$表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明$2^3-1=7$个错码的位置
若规定校正子和错码位置的关系如下表：

$S_1{S}_2{S}_3$	错码位置	$S_1{S}_2{S}_3$	错码位置
001	$a_0$	101	$a_4$
010	$a_1$	110	$a_5$
100	$a_2$	111	$a_6$
011	$a_3$	000	无错码

则仅当发生一个错码，且位置在$a_6$、$a_5$、$a_4$或$a_2$时，校正子$S_1$的值才等于1；否则$S_1$的值为零。这就移位着$a_6{a}_5{a}_4{a}_2$四个码元构成偶数监督关系：
$$S_1=a_6\oplus a_5\oplus a_4\oplus a_2$$
$$S_2=a_6\oplus a_5\oplus a_3\oplus a_1$$
$$S_3=a_6\oplus a_4\oplus a_3\oplus a_0$$
$$\{\begin{array}{l}{a}_2=a_6\oplus a_5\oplus a_4\\ a_1=a_6\oplus a_5\oplus a_3\\ a_0=a_6\oplus a_4\oplus a_3\end{array}$$

【掌握判断】若接受码组为0000011，则按上三式计算得到：$S_1=0,S_2=1,S_3=1$。这样，由上表可知，错码位置在$a_3\to$ 0001011

汉明码是$(7,4)$码，其最小码距$d_0=3$
则由$d_0\ge e+1$和$d_0\ge 2t+1$可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码

【填空题】$(15,11)$汉明码中的$r=4$，最小码距$d_0=4$

• 汉明码的码率
  $$\frac{k}{n}=\frac{2^r-r-1}{2^r-1}$$

  • 当$r$很大时，码率趋近1——汉明码是一种高效编码

【结论】汉明码是一种可纠一位错的线性分组码，其码参数为$n=2^r-1,k=n-r=2^r-1-r,r\ge 3,d_0=3$

• 完备码

  • 通常若要设计能纠正$t$个错码的分组码$(n,k)$，则当信息位$k$，码长$n$和监督位$r$的选取应满足：
    $$2^r-1\ge C_n^1+C_n^2+...+C_n^t=\sum _{i=1}^t{C}_n^t$$
    不等式左边是$r$位监督位所能显示的错码类型数，右边是所有可能发生的错码总数。取等式时，所设计的码称为完备码。汉明码是完备码

【典型题】将$(7,4)$汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储器阵列，每行一个码字，共计10个码字，再按列读出后通过信道传输。若传输这10个码字时，信道中发生了连续15个错误，请问接受端解交织并译码后，能译对几个码字？
分析：本题按行输入，按列输出，连续15个错误，则应该是$15=10+5$，其中有5行有2个错码，其他5行为1个错码。由于$(7,4)$汉明码是可以纠1个错，因此可以纠正发生1个错码的5行，也就是能译对5个码字

• 分组码的一般原理

  线性分组码是监督位和信息位满足一组线性方程的码，如前述$(7,4)$码满足如下关系：
  $$\{\begin{array}{l}{a}_6\oplus a_5\oplus a_4\oplus a_2=0\\ a_6\oplus a_5\oplus a_3\oplus a_1=0\\ a_6\oplus a_4\oplus a_3\oplus a_0=0\end{array}$$
  可以改写为
  $$\{\begin{array}{l}1\cdot a_6+1\cdot a_5+1\cdot a_4+0\cdot a_3+1\cdot a_2+0\cdot a_1+0\cdot a_0=0\\ 1\cdot a_6+1\cdot a_5+0\cdot a_4+1\cdot a_3+0\cdot a_2+1\cdot a_1+0\cdot a_0=0\\ 1\cdot a_6+0\cdot a_5+1\cdot a_4+1\cdot a_3+0\cdot a_2+0\cdot a_1+1\cdot a_0=0\end{array}$$
  可以写成矩阵形式：
  $$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_6\\ a_5\\ a_4\\ a_3\\ a_2\\ a_1\\ a_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
  上式可简写为$H{A}^T=0^T$或$A{H}^T=0$
  其中$$H_{r\times n}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$$称为监督矩阵
  $A=[a_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0]$称为码字

  • $H$矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接受码字$A$是否出错的依据
  • 监督矩阵的性质

    • 监督矩阵$H$确定码组中的信息位和监督位的关系

    • $H$的行数就是监督关系式的数目，即监督位数$r$

    • $H$的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系
      $H$可以分成两部分
      $$H_{r\times n}=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 0& |& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& |& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right]=[P{I}_r]$$为典型监督矩阵

  • 典型监督矩阵
    • 将具有$[P{I}_r]$形式的$H$矩阵称为典型阵
    • $H$矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到$r$个线性无关的监督关系式
    • 若一个矩阵能写成典型阵形式$[P{I}_r]$，则其各行一定是线性无关的

• 生成矩阵
  $$\{\begin{array}{l}{a}_2=a_6\oplus a_5\oplus a_4\\ a_1=a_6\oplus a_5\oplus a_3\\ a_0=a_6\oplus a_4\oplus a_3\end{array}$$
  可以写为
  $$\left[\begin{array}{c}{a}_2\\ a_1\\ a_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_6\\ a_5\\ a_4\\ a_3\end{array}\right]$$
  上式两端分别转置后，可以变成
  $$\left[\begin{array}{c}{a}_2{a}_1{a}_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_6{a}_5{a}_4{a}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_6{a}_5{a}_4{a}_3\end{array}\right]Q$$
  $Q$为$k\times r$阶矩阵，是$P$的转置，即$Q=P^T$
  将$Q$的左边加上一个$k$阶单位方阵，称为生成矩阵，即
  $$G=[I_{k}Q]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& |& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& |& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& |& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& |& 0& 1& 1\end{array}\right]$$
  $G$称为生成矩阵，因为可以用它产生整个码组$A$，即有
  $$A=[a_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0]=[a_6{a}_5{a}_4{a}_3]G$$
  【知识点】如何由监督矩阵如何产生生成矩阵？
  把监督矩阵典型化后，得到了一个$P_{r\times k}$阶矩阵，转置后得到$Q_{k\times r}$阶矩阵后，前面加一个$k$阶的单位矩阵，就可以得到一个典型化的生成矩阵，信息位和生成矩阵相乘，可以得到整个码组

  • 生成矩阵的性质
    • 具有$[I_{k}Q]$形式的生成矩阵称为典型生成矩阵
    • 由典型生成矩阵得出的码组$A$中，信息位的位置不变，监督位附加于其后——系统码
    • 生成矩阵G的各行也必须是线性无关的
      • 任意码组$A$都是$G$的各行的线性组合
      • $G$共有$k$行，若他们线性无关，则可组合出$2^k$中不同的码组$A$，它恰好是$k$位信息位的全部码组
      • 若$G$的各行有线性相关的，则不可能由$G$生出$2^k$中不同码组
      • 实际上，$G$的各行本身就是一个码组
    • 如果已有$k$个线性无关的码组，则可以将其用来作为生成矩阵$G$，并由它生成其余码组

• 错误图样
  发送码组$A$是一个$n$列的行矩阵：
  $$A=[a_{n-1}{a}_{n_2}...a_1{a}_0]$$
  接受码组是一个$n$列的行矩阵$B$：
  $$B=[b_{n-1}{b}_{n-2}...b_1{b}_0]$$
  令接受码组和发送码组之差位
  $$B-A=E$$
  $E$就是错码的行矩阵
  $E=[e_{n-1}{e}_{n-2}...e_1{e}_0]$，称为错误图样
  式中，$e_i=\{\begin{array}{ll}0,& \text{当}{b}_i=a_i\\ 1,& \text{当}{b}_i\ne a_i\end{array}$

• 校正子矩阵
  $B-A=E$可以改写为$B=A+E$
  在接受端解码时，将接受码组$B$带入式
  $$A{H}^T=0$$
  中$A$的位置进行计算

  • 若接受码组中无错码，则$B=A$。代入后，该式仍成立，即有：$$B{H}^T=0$$

  • 当接受码组有错时，$E\ne 0$，将$B$带入$A{H}^T=0$中，该式不一定成立

    • 只有当错码较多，已经超出了这种编码的检测能力时，$B$变为另一许用码组，上式才成立

    • 当错码未超过检错能力时，上式不成立，即其右端不为0。假设此时该式的右端等于$S$，即有
      $$B{H}^T=S$$
      将$B=A+E$代入上式，得到：
      $$S=(A+E)H^T=A{H}^T+E{H}^T$$
      上式右端第一项等于0，所以
      $$S=E{H}^T$$
      将$S$称为校正子。
      当$H$确定后，上式中$S$只与$E$有关，而与$A$无关
      $S$和错码$E$之间有确定的线性变形变换关系。若$S$和$E$有一一对应关系，则$S$将能代表错码位置

• 线性码的封闭性
  若$A_1$和$A_2$是一种线性码中的两个码组，则仍是其中一个码组
  由于线性码具有封闭性，所以两个码组$A_1$和$A_2$之间的距离（即对应位不同的数目）必定时另一个码组$(A_1+A_2)$的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）

【例题】已知$(7,3)$分组码的监督关系为
$$\{\begin{array}{l}{a}_6+a_3+a_2+a_1=0\\ a_5+a_2+a_1+a_0=0\\ a_6+a_5+a_1=0\\ a_5+a_4+a_0=0\end{array}$$
求其监督矩阵、生成矩阵、全部码字及纠错能力
解：由监督关系式可写出监督矩阵
$$H=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
写成典型监督矩阵
$$H=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=[P{I}_r]$$
生成矩阵满足关系$[a_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0]=[a_6{a}_5{a}_4][I_{k}Q]$
生成矩阵为
$$G=[I_{k}G]=[I_k{P}^T]=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]$$
最小码距$d_0=4$，可纠错1位

• 扩展汉明码
  在汉明码基础上，再加上一位所有码字进行校验的监督位

  • 监督码字由$r$增加$r+1$位

  • 信息位不变

  • $d_0=4$

    • 码长$n=2^r$，码结构$(2^r,2^r-r-1)$
    • 纠1位错，同时检测2位错
    • 如$(8,4)$、$(16,11)$

$(7,4)$汉明码字中至少一个码字重量等于$d_0=3$，加上1位监督位，则$d_0=4$。于是，相应的监督矩阵$H$通过在$(7,4)$码的$H$中顶部或底部加1行“1”，右边加1列“0”来构成